2一阶微分方程【目的要求】1、会熟练求解一阶变量可分离微分方程、齐次微分方程；2、熟练求解一阶微分方程的通解及满足初始条件的特解．【重点难点】1、微分方程的阶、通解与特解等概念；分离变量法；2、利用微分方程建立数学模型．【教学内容】本节我们讨论一般形式为F(x,y,y')=0的一些解法
在一定条件下,上式可表示为y'=f(x,y)
一、可分离变量的微分方程形如dy=f(x)-g(y)(或g(y)-dy=f(x)-dx)dx的微分方程称为可分离变量的微分方程
即，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy,另一端只含x的函数和dx
可分离变量的微分方程的解法：第一步分离变量，将方程写成g(y)-dy=f(x)-dx的形式；第二步两端积分，得L(y)dyf(x)dx,设积分后得G(y)=F(x)+C；第三步求出由G(y)=F(x)+C所确定的隐函数y=O(x)或x=^(y),则G(y)=F(x)+C,y=O(x)或x=^(y)都是方程的通解，其中G(y)=F(x)+C称为隐式(通)解
例1求微分方程dy二2xy的通解
dxmgv=T+Cem(C=-e-kC
)k丿解此方程为可分离变量方程，分离变量后得—dy=2xdxy两边积分得J1dy=f2xdxy即InIy1=x2+C,1从而y=±ex2+q=±eqex2
因为±eq仍是任意常数,把它记作C,便得所给方程的通解y=Cex2
例2设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时速度为零
求降落伞下落速度与时间的函数关系
解设降落伞下落速度为v(t)・降落伞所受外力为F=mg-kv(k为比例系数)
根据牛顿第二运动定律F=ma,得函数v(t)应满足的方程为dvm—=mg-kvdt初始条件为v=0t=0方程分离变量，得dv=dtmg-kvm'两边积分得Jd\=Jdmg-kvm，-■
