2一阶微分方程【目的要求】1、会熟练求解一阶变量可分离微分方程、齐次微分方程；2、熟练求解一阶微分方程的通解及满足初始条件的特解．【重点难点】1、微分方程的阶、通解与特解等概念；分离变量法；2、利用微分方程建立数学模型．【教学内容】本节我们讨论一般形式为F(x,y,y')=0的一些解法.在一定条件下,上式可表示为y'=f(x,y).一、可分离变量的微分方程形如dy=f(x)-g(y)(或g(y)-dy=f(x)-dx)dx的微分方程称为可分离变量的微分方程.即，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy,另一端只含x的函数和dx.可分离变量的微分方程的解法：第一步分离变量，将方程写成g(y)-dy=f(x)-dx的形式；第二步两端积分，得L(y)dyf(x)dx,设积分后得G(y)=F(x)+C；第三步求出由G(y)=F(x)+C所确定的隐函数y=O(x)或x=^(y),则G(y)=F(x)+C,y=O(x)或x=^(y)都是方程的通解，其中G(y)=F(x)+C称为隐式(通)解.例1求微分方程dy二2xy的通解.dxmgv=T+Cem(C=-e-kC!)k丿解此方程为可分离变量方程，分离变量后得—dy=2xdxy两边积分得J1dy=f2xdxy即InIy1=x2+C,1从而y=±ex2+q=±eqex2.因为±eq仍是任意常数,把它记作C,便得所给方程的通解y=Cex2.例2设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时速度为零.求降落伞下落速度与时间的函数关系.解设降落伞下落速度为v(t)・降落伞所受外力为F=mg-kv(k为比例系数).根据牛顿第二运动定律F=ma,得函数v(t)应满足的方程为dvm—=mg-kvdt初始条件为v=0t=0方程分离变量，得dv=dtmg-kvm'两边积分得Jd\=Jdmg-kvm，-■1ln(mg-kv)=—+Ckm1将初始条件v|=0代入通解得C=-竽,t=0k于是降落伞下落速度与时间的函数关系为v=竽(1-e-和).k解方程可化为分离变量得两边积分得奚=(i+x)d+y-),11+ydy=(1+x)d例3求微分方程dy=1+x+y2+xy2的通解.dx1即arctany=—x2+x+C.于是原方程的通解为y=tan(—x—+x+C).二、齐次微分方程我们遇到的许多方程不是可分离变量的微分方程,但可以根据方程的特点,把所给的方程转化为可分离变量的方程.下面介绍的齐次方程就是一种可化为分离变量的方程.如果一阶微分方程dy=f(x,y)中的函数f(x,y)可写成Z的函数，即dxxf(x,y)=申(—),则称学=申(-)为齐次方程.xdxx齐次方程的解法：在齐次方程学=卅)中,令u=2,即y=必,有dxxxu+x啤=p(u)dx分离变量，得du=dxp(u)-ux•两端积分，得jdu=jdxp(u)-ux•求出积分后，再用工代替u,便得所给齐次方程的通解.xdy=u+xdudxdxdx-于是原方程变dydu=u+x——du1+u21u+x==+u.即分离变量,得du1x=—dxu例4求微分方程y2+x2dy=xydy的通解.dxdx解原方程可写成dyy2dxxy-x2y因此原方程是齐次方程令工=u,则y=ux,x于是原方程变为u+xdu斗dxu-1duXdx分离变量，得两边积分，得u-InIuI+C=InIxI,即，InIxu1=u+C.则所给方程的通解为lnIyI=2+C.x例5求微分方程(x2+y2)dx-xydy=0的通解.解原方程可写为dyx2+y21+(y)2udu=dxx两边积分,得解原方程可写为令u=2,得y=ux,dyxdx于是原方程变为分离变量,得两边积分,得即所以原方程的解为：ydy-ylnydxxxdu-u+x.dxduu+x-ulnu.dxdu1-—dxu(lnu-1)xln(lnu-1)-lnx+lnClnu-1-Cx=lnx+lnC2i所以原方程的解为：y2二x2ln(Cx2).例6求解微分方程xg=yln2的通解.dxx三、一阶线性微分方程形如dy+p(x)y-Q(x)(1)dx的微分方程称为一阶线性微分方程.所谓线性是指未知函数及其导数都是一次幂的.这里P(x)和Q(x)为已知连续函数若Q(x)三0,则方程(1)称为一阶线性齐次微分方程，否则，方程⑴称为一阶线性非齐次微分方程.一阶线性齐次微分方程学+P(x)y-0是变量可分离方程.分离变量后得dxdy=-P(x)dxy两边积分，得或y=Ce-Jp(x)dx(C=±eq)・(2)例7求解方程(x-2)dy=y的通解.dx解该方程为一阶线性齐次微分方程，分离变量得dy=dx~y=口，两边积分得InIy1=InIx-21+InC,所以原方程的通解为y=C(x-2).一阶线性非齐次微分方程的解法:我们利用一阶线性齐次微分方程的通解(2)来求一阶线性非齐次微分方程(1)的通解，即把(2)中的任意常数C换成未知函数u(x),把y=u(x)e」P(x)dx假设成非齐次线性方程的通解代入方程(1)求得u，(x)e_Jp(x)dx-u(x)e-JP(x)dxP(x)+P(x)u(x)e-Jp(x)dx=Q(x),化简得u，(x)=Q(x)eJP(x)dx,u(x)=JQ(x)e『P(x)dxdx+C,于是方程(1)的通...
