“四点共圆”在解题中的妙用众所周知，在同一个圆中，相等（相同）的弧（弦）所对的圆周角相等；相等（相同）的弧（弦）所对的圆心角相等；四个顶点在同一个圆的四边形（圆内接四边形）对角互补，任一内角的外角等于其内角的对角，。巧妙运用这一知识点可轻松解决一些角度的等量代换及比例问题。通常我们判定平面上的四个点是否在同一个圆上所用的模型有以下几种:（1）两个直角三角形的斜边为同一个；（2）同一个线段所对的角相等（图中的角度为随意给出，表示两个角相等）；（3）四边形对角互补（图中的角度为随意给出，表示对角互补）。【例1】在厶ABC中，BD丄AC于点D,CE丄AB于点E,连接ED。求证：△ABCS^ADE。【解析】VBD丄AC,CE丄AB，・*.B>C、D、E四点共圆,.•・ZAED=ZACB,ZADE=ZABC,故△ABCS^ADE。【例2】如图，已知△PAB中，PA=PB,ZAPB=2ZACB,PD=3,PB=4,求AD・DC从而利用四点共圆和角平分线定理可解此题。如图，作ZAPB的角平分线PM,交AD于点M,则ZMPD=ZACB,故B、C、P、只要证明ZP=ZQ就行了【例3】如图，已知△ABC内接于OO,AB=AC,点P、Q分别为CA、AB延长线上的点，且AP=BQ。求证：O、A、P、Q四点共圆。【解析】如图，连接OA、OB、OP、OQ。VAB=AC,ZBAO=ZCAO=ZABO,・•・ZQBO=ZPAO,在△QBO和厶PAO中：VZQBO=ZPAO,OB=OA,BQ=AP.'.△QBO^^PAO.ZP=ZQ,即O、A、P、Q四点共圆。【例4】如图，点P是OO外一点，PA切OO于点A,PBC是OO的割线，AD丄PO于点D,连接BD。求证：PC:CD=PB:BD。【解析】（比例关系容易让人想到相似三角形，故需构建与需证线段相关的相似三角形）连接OB、OC、OA。则OA丄PA,又AD丄PO,根据射影定理：PA2=PD・PO；根据切线定理：PA2=PB・PC,・・.PD・PO=PB・PC,故△PBDs^POC；ZPDB=ZPCO,即ZBCO+ZBDO=180°,・•.点B,C,O,D四点共圆，・.ZPOB=ZPCD,又ZCPO=ZDPB,故厶PBOs^PDC,.•.PC:CD=PO:OB=PO:OC；由厶PBDs^POC,知：PB:BD=PO:OC,PC:CD=PB:BD。【注】此题可以得出一个推理：如果点B、C分别是射线PA、PD上的点，且PA・PB=PC・PD,则点A、B、C、D三点共圆。〃四点共圆”在解题中的妙用（三）【例5】如图，在0O中，弦AB丄弦CD于点E,弦AG丄弦BC于点F,连接EF,CD与AG相交于点M,则下列结论：①弧BD=弧BG；②DE=ME；③ZACD=ZAFE；④AF=BF。其中正确结论的序号是（）。【解析】填①②③。①，TAB丄CD,AG丄BC,.*.A>C、F、E四点共圆；ZFCE=ZFAE,即ZBCD=ZBAG,化弧BD-弧BG,②，连接AD,如图。由①弧BD-弧BG,ZBAD=ZBAG,又AE丄DM,根据“三线合一”定理，AADM为等腰三角形，DE=ME,故②正确；③，TA、C、F、E四点共圆，ZACD=ZAFE,故③正确；④，如果AF=BF,则ZABC=45°,而ZABC的度数显然不是定值，故④错误。综上所述，正确的为：①②③。【例6】如图，已知正方形ABCD,CD=〈2,若点P满足PD=1,且ZBPD=90°,求点A到BP的距离。在△PAD和△FAB中：ZPDA=ZABP,ZPAD=ZBAF,AD=AB,•△PAD^^FAB,・•AP=AF,FB=PD=1；TCD=〈2,二犖乃轴」亳淳工件里故①正确;勝乃中訓等曲手工存呈【解析】如图，当ZBPD=90°时，点P为以D为圆心，1为半径的圆上，且点BP为VZBPD=ZBCD=90°,ZPDC=ZPBC；ZPAD=90°-ZPAB,・•・ZPAD=ZBAG；ZPDA=90°+ZPDC,・•・ZPDA=ZGBAo在△PAD和AGABZPDA=ZGBA,••・B、C、P、D四点共圆,ZBAG=90°-ZPAB,ZGBA=90°+ZPBC,中：AD=AB.•.△PAD^AGAB,・•・BD=2,BP=〈3,PF=〈3-1,AM=（〈3-1）/2；（2）当点P在BD下方时（如图2）,过点A作AG丄AP,交PB延长线于点G,过点A作AM丄BP于点Mo.•・AP=AG,GB=PD=1；•.•BP=〈3,PG=〈3+1,AM=（〈3+1）/2。综上所述，点A到BP的距离为：（〈3-1）/2；或（〈3+1）/2o〃四点共圆”在解题中的妙用(四)彌碍呦荐戎手工悸圣〃四点共圆”在解题中的妙用(四)彌碍呦荐戎手工悸圣・•・ZPBE=ZPDE=ZADC=30°,PE=3xtan30°=〈3(cm).【例8】如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上任意一点，过点E作EF丄AC于点F,连接BF交直线AE于点G,连接CG。(1)求ZBGC的度数；(2)证明：AG丄CG。【解析】(1)如图，连接DF。易知A、D、E、F四点共圆，ZFAE=ZFDE,VZFDE=ZCBG,ZCAG=ZFAE=ZCBG,.A、B、C、G四点共圆，・•・ZBGC=ZBAC=45°；(2)VA、B、C、G四点共圆，ZABC=90°,ZAGC=90°,故AG丄CGo〃四点共圆...
