第五节__条件分布与条件期望VIP免费

第五节条件分布与条件期望设(X,Y)是二维离散型随机变量,其分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,….(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为P{X=xi}=pi·i=1,2,….P{Y=yj}=p·jj=1,2,….设pi·>0,p·j>0，考虑在事件{Y=yj}已发生的条件下事件{X=xi}发生的概率,即{X=xi|Y=yj},i=1,2,….的概率,由条件概率公式,.,2,1,}{},{}|{ippyYPyYxXPyYxXPjijjjiji一、离散型随机变量的条件分布律显然，上述条件概率具有分布律的特性(1).P{X=xi|Y=yj}≥0；1}|{).2(11jjijijijippppyYxXP1．定义设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j，若P{Y=yj}>0，则称.2,1,}{},{}|{ippyYPyYxXPyYxXPjijjjiji为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律。同理，对于固定的i，若P{X=xi}>0，则称.,2,1,}{},{}|{jppxXPyYxXPxXyYPiijijiij为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律。2.条件分布函数xxjijjYXiyYxXPyYxXPyxF}|{}|{)|(|jxxijxxjijppppii同理：iyyijiXYppxyFj)|(|例二维离散型随机变量(X,Y)的分布律如表XYX1=-1X2=1X3=2Y=01/1203/12Y=3/22/121/121/12Y=23/121/120求条件分布律P{X=xi|Y=2}.解：X与Y的边缘分布如表：XYX1=-1X2=1X3=2p.jY=01/1203/124/12Y=3/22/121/121/124/12Y=23/121/1204/12pi.6/122/122/124/12P{X=-1|Y=2}=p13/p.3=3/4；P{X=1|Y=2}=p23/p.3=1/4；P{X=2|Y=2}=p33/p.3=0；又如：P{X=1|Y=0}=p21/p.1=0等；设(X,Y)是二维连续型随机变量,这时由于对任意x,y有P{X=x}=0,P{Y=y}=0,因此不能直接用条件概率公式引入条件分布函数P{X≤x|Y＝y}.下面我们用极限的方法来处理.给定y,设对于任意固定的正数ε,P{y-ε＜Y≤y+ε}>0,于是对于任意x有}{},{}|{yYyPyYyxXPyYyxXP上式给出了在任意y-ε＜Y≤y+ε下X的条件分布函数,现在我们引入以下的定义.二、连续型随机变量条件分布的定义1.条件分布函数的定义：给定y,设对于任意实数x,若极限}{},{lim}|{lim00yYyPyYyxXPyYyxXP存在,则称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数,记为P{X≤x|Y=y}或记为FX|Y(x|y).2．公式：设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，概率密度为p(x,y).若在点(x,y)处p(x,y)连续,且pY(y)>0,则有}{},{lim)|(0|yYyPyYyxXPyxFYXxYYXYxYXduypyupyxFypduyupyxF)(),()|()(),()|(||或写成，亦即)()(),(),(lim0yFyFyxFyxFYY2/)()(2/),(),(lim0yFyFyxFyxFYY)(),(yFdydyyxFY3.条件概率密度定义yXXYYXdvxpvxpxyFxyF)(),()|()|(||和类似地可以定义)(),()|(|ypyxpyxpYYX同理，)(),()|(|xpyxpxypXXY称为在Y=y条件下X的条件概率密度，且满足概率密度的两个性质。称为在X=x条件下X的条件概率密度，且满足概率密度的两个性质。例:设(X,Y)服从二维正态分布N(µ1,µ2,σ12,σ22,),求在X=x的条件下,Y的条件密度函数pY|X(y|x).解:(X,Y)的密度函数为]})())((2)([)1(21exp{121),(2222212121212221yyxxyxpyx，由以前的例子知道21212)(121)(xXexp所以X=x条件下Y的条件概率密度为]12)(exp[121)(),()|(2222112222|xyxpyxpxypXXY这正是正态分布)1,(2221122xN例:设数X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X=x(0