第三章 常微分方程VIP免费

数学建模简明教程国家精品课程第三章常微分方程一、引言二、模型的建立—机理分析法三、SARS传播模型中参数的确定四、SARS传播模型的求解五、参数的灵敏度分析目录下页返回上页结束目录下页返回上页结束2003年全国数模竞赛的A题“SARS（Severe制提供可靠、足够的信息的传染病模型：传播”要求建立一个能够预测以及能为预防和控AcuteRespiratorySyndrome，非典型肺炎）的天发病，SARS自02年11月发现以来，迅速蔓延播的恶性传染病，潜伏期约2~12天，通常在4~5非典型肺炎是21世纪第一个在世界范围内传一、引言到世界28个国家，据世界卫生组织报告，截至03延创造条件的重要性，这是人们十分关注的问题.研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从患者即高达百人以上.SARS的爆发和蔓延给我国人，其中343人死亡，高峰期，北京市每日新增792人死亡，我国情况尤为严重，病例高达5327年6月13日，全世界的SARS病例已达8454人，共目录下页返回上页结束建立SARS传播的数学模型，可以在一般情和控制.最后给出参数的灵敏度分析以探讨SARS的预防参数，从而利用Runge-Kutta方法求解该模型，针对SARS传播模型讨论如何确定模型中的关键介绍利用机理分析法建立SARS传播模型，然后是依据机理分析的方法来建模.为此，本章首先流行的观测往往也不完善和充分，因此通常主要况分析受感染人数的变化规律，然而实际SARS问题分析：目录下页返回上页结束假设条件1()()stit（）人群分为易感者和已感者两类2（）每个病人每天有效接触的平均人数为()st每个病人每天可使个健康者变为病人，病人数()()()NitNstit为，所以每天有个健康者变为病人.1.SI模型1.SI模型推知：二、模型的建立—机理分析法目录下页返回上页结束(1)()()1diiidtstit用分离变量法求解，代入初值得01()11(1)titeiSI模型目录下页返回上页结束i~t曲线目录下页返回上页结束di/dt~t曲线目录下页返回上页结束011ln(1)mti1、最终全部感染为病人2、模型没有考虑病人可以治愈3、i=0.5时，di/dt最大，传染病高潮到来，此时mt与成反比，后者反映了该地区的卫生水平关于SI模型的结论：目录下页返回上页结束12假设条件同（）（），增加3,（）日治愈率为病人治愈后仍可被感染(1)()()1diiiidtstit(1)diNNiiNidt推知：2.SIS模型目录下页返回上页结束当时，有()101()[()]titei当时，有101()()ittiSIS模型的解目录下页返回上页结束定义1其中表示日接触率，表示平均传染期，因此为接触数，表示一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，t当时，有11,1()0,1iSIS模型的分析目录下页返回上页结束11i~t曲线目录下页返回上页结束1、接触数的临界值为2、SI模型可视为本模型的特例，此时0，1关于SIS模型的结论：目录下页返回上页结束()()()1disiidtdssidtstitrt假设条件1()()()stitrt（）人群分为易感者、已感者、免疫移出者2（）病人日接触率、日治愈率、传染期接触数推知：3.SIR模型目录下页返回上页结束(,)0,0,1}Dsisisi相轨线的定义域SIR,dt模型中消去可得0011ssdidssii0001()lnsisiss解得.相平面S-I分析目录下页返回上页结束SIR模型的相轨线目录下页返回上页结束0,010sii、不论初始条件如何，都有12s、最终未被感染的健康者比例是(0,)，满足0001()ln0ssiss0113()sits、若，则先增加，当时，有max0001(1ln)()0()isisitsts，此后，关于SIR模型的结论：目录下页返回上页结束014()0()sitsts、若，则，，此时传染病ss不会蔓延；定义交换数为，表示传染期内0111r交换数，即，病人比例不增加，传染病011sss人被个健康者交换.当，必有，此时，一个病人传染的健康者的平均数，其...