§2.6电多极矩一、电势的多极展开真空中给定电荷分布激发的电势为'''0()()4VxdVxrxxrρϕπε==−∫vvvv式中体积分遍及电荷分布区域，r为场点和源点的距离。xvx′v'()xρv在区域V内取一点O作为坐标原点，以R表示由原点到场点P的距离，有222222)'()'()'(|'|||zzyyxxxxrzyxxR−+−+−=−=++==rrr当电荷分布区域的线度远小于R时，可以把各分量看作小参量。设为的任一函数，则在附近的泰勒展开式为x′v)'(xxfrr−'xxrr−0'=xrLrrrrrLrrrrr+•∇+•∇−=+∂∂∂+∂∂−=−∑∑==)()'(!21)(')()(''!21)(')()'(231,231xfxxfxxfxfxxxxxfxxxfxxfjijijiiii取，有rxxxxf1|'|1)'(=−=−rrrrLr+∂∂∂+•∇−=∑RxxxxRxRrjijiji1''!211'11,2将此式代入电势的表达式中得'1''!211'1)'(41)(,20dVRxxxxRxRxxVjijiji∫∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂∂+•∇−=Lrrrρπεϕ令即Q为体系的总电量，P为体系的电偶极矩，D为体系的电四极矩，则上式可以改写为∫∫∫≡≡≡VjiijVVdVxxxDdVxxPdVxQ')'(''3,')'(',')'(rrrrrρρρLrrrLrr+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂∂+∇•−=∑)()()(161141)()2()1()0(,20xxxRxxDRPRQxjijiijϕϕϕπεϕ从展开式来看，每项比前一项多1/R数量级，因此贡献最大的项为φ(1)，其次为φ(1)，再次为φ(2)，可根据实际问题的要求精度确定展开项数。因此这个展开称作电荷体系激发的电势在远处的多极展开。下面讨论展开式中各项的物理意义：二、电多极矩的概念(0)04QRϕπε=（1）代表原点处点电荷Q激发的电势，即整个体系在远点产生的势相当于把整个体系的电荷都集中于原点处的贡献。(1)3001144PRPRRϕπεπε⋅=−⋅∇=vvv（2）代表放于原点处的电偶极矩P在远处产生的电势，即体系产生的电偶极矩P放在原点处时产生的势。若体系的电荷分布满足中心对称，，则因此电偶极矩反映了电荷分布是否具有原点对称性。''()()xxρρ=−vv0P=viiiPQx′=∑vv对于分立的点电荷组成的电荷体系，电偶极矩为课本以电偶极子所产生的电势为例加以了讨论。对电偶极矩的讨论：2(2)011146ijijijDxxRϕπε∂=∂∂∑（3）由电四极矩产生的势ijD电四极矩Dij是对称张量，它有六个分量D11，D22，D33，D12＝D21，D23＝D32，D31＝D13，因此有6个分量。下面讨论各个分量的物理意义。分量的物理意义：Z轴上一对正电荷和一对负电荷组成的体系。这体系可以看作由一对电偶极子+P和-P组成。设正电荷位于±b，负电荷位于±a。这体系的总电荷和总电偶极矩都为零，但它的电四极矩为PlababQabQzQDiii6))((6)(6'322233=−+=−==∑其中:P=Q(b-a)是其中两对电荷的电偶极矩，l=a+b是两个电偶极子中心的距离。因此电四极矩的Z分量可以看作是由Z轴上的一对反向的电偶极矩（两对正负电荷）构成，其产生的电势为两对电偶极矩产生的电势的叠加与φ(2)中的33分量相同。同理，11和22分量的最简单电荷体系分别由x轴和y轴上两对正负电荷组成；12分量的电荷体系由xy平面上两对正负电荷组成；13和23分量也类似。RzDRzPlrrzP161411411141223302200∂∂=∂∂≈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−∂∂−≈−+πεπεπεϕ如果我们重新定义电四极矩Dij∫−=')'()3(2'''dVxrxxDijjiijrρδ由于，此时φ(2)形式不变，仍为∑∂∂∂=jijiijRxxD,20)2(16141πεϕ012=∇R但是电四极矩满足，对只有5个独立分量。以后我们也将沿用此定义形式。0332211=++DDD可以验证：球对称电荷分布没有电四极矩；反过来，电荷分布偏离球对称性，电四极矩不为零。因此电四极矩反映了电荷分布是否具有球对称性。三、小区域电荷体系在外电场中的能量设外电场电势为φe，具有电荷分布ρ(x)的体系在外电场中的能量为∫=dVWeρϕ设电荷分布于小区域内，取区域内适当点为坐标原点，把φe对原点展开Lr+∑∂∂∂+∑∂∂+===)0(!21)0()0()(31,231ejijijieiiieexxxxxxxϕϕϕϕLLLr+++=+∂∂∂+∂∂+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂∂+∂∂+=∑∑∫∑∑(2)(1)(0),2,2WWW)0(61)0()0(Q)0(!21)0()0()(jiejiijieiiejiejijiieiiexxDxpdVxxxxxxxWϕϕϕϕϕϕρ展开式中各项的意义:(0)(0)eWQϕ=小区域电荷集中于原点时与外场的相互作用能(1)(0)(0)eeWPPEϕ=⋅∇=−⋅vvv体系电偶极矩与外场相互作用能小区域电四极矩与外场的相...
