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试题习题，尽在百度百度文库，精选试题升级增分训练定点、定值、证明问题1．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，短轴端点到焦点的距离为2．(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB．求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值．解：(1)由题意知，e＝ca＝32，b2＋c2＝2，又a2＝b2＋c2，所以a＝2，c＝3，b＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1．(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±255，此时，原点O到直线AB的距离为255．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由x24＋y2＝1，y＝kx＋m，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0．则Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)＞0，x1＋x2＝－8km1＋4k2，x1x2＝4m2－41＋4k2，则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝m2－4k21＋4k2，由OA⊥OB，得kOA·kOB＝－1，即y1x1·y2x2＝－1，试题习题，尽在百度百度文库，精选试题所以x1x2＋y1y2＝5m2－4－4k21＋4k2＝0，即m2＝45(1＋k2)，满足Δ＞0．所以原点O到直线AB的距离为|m|1＋k2＝255．综上，原点O到直线AB的距离为定值255．2．(2017·湖南省东部六校联考)设椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且△PF1F2的周长是4＋23．(1)求椭圆C1的方程；(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若C点满足AB―→⊥BC―→，AD―→∥OC―→，连接AC交DE于点P，求证：PD＝PE．解：(1)由e＝32，知ca＝32，所以c＝32a，因为△PF1F2的周长是4＋23，所以2a＋2c＝4＋23，所以a＝2，c＝3，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C1的方程为x24＋y2＝1．(2)证明：由(1)得A(－2,0)，B(2,0)，设D(x0，y0)，所以E(x0,0)，因为AB―→⊥BC―→，所以可设C(2，y1)，所以AD―→＝(x0＋2，y0)，OC―→＝(2，y1)，由AD―→∥OC―→可得(x0＋2)y1＝2y0，试题习题，尽在百度百度文库，精选试题即y1＝2y0x0＋2．所以直线AC的方程为：y2y0x0＋2＝x＋24．整理得y＝y02x0＋2(x＋2)．又点P在直线DE上，将x＝x0代入直线AC的方程可得y＝y02，即点P的坐标为x0，y02，所以P为DE的中点，所以PD＝PE．3．椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2，1)的距离为10．(1)求椭圆C的标准方程．(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)因为左焦点(－c,0)到点P(2,1)的距离为10，所以2＋c2＋1＝10，解得c＝1．又e＝ca＝12，解得a＝2，所以b2＝a2－c2＝3．所以所求椭圆C的方程为x24＋y23＝1．(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝kx＋m，x24＋y23＝1，试题习题，尽在百度百度文库，精选试题消去y，得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)＞0，化简，得3＋4k2－m2＞0．所以x1＋x2＝－8mk3＋4k2，x1x2＝4m2－33＋4k2．y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝3m2－4k23＋4k2．因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点D(2,0)，则kAD·kBD＝－1，所以y1x1－2·y2x2－2＝－1，所以y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，所以3m2－4k23＋4k2＋4m2－33＋4k2＋16mk3＋4k2＋4＝0．化为7m2＋16mk＋4k2＝0，解得m1＝－2k，m2＝－2k7，满足3＋4k2－m2＞0．当m＝－2k时，l：y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；当m＝－2k7时，l：y＝kx－27，直线过定点27，0．综上可知，直线l过定点27，0．4．(2016·南昌一模)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x＋y＋22－1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C的方程；试题习题，尽在百度百度文库，精选试题(2)设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2＝k3k4．①求k1k2的值；②求|OB|2＋|OC|2的值．解：(1)设椭圆C的右焦点为F2(c,0)，则c2＝a2－b2(c＞0)．由题意可得，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半...