试题习题，尽在百度百度文库，精选试题板块命题点专练（十二）命题点向量法求空间角及应用命题指数：☆☆☆☆☆难度：中题型：解答题1．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4．过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值．解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8．因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10．于是MH＝EH2－EM2＝6，所以AH＝10．以D为坐标原点，DA―→的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10,4,8)，F(0,4,8)，FE―→＝(10,0,0)，HE―→＝(0，试题习题，尽在百度百度文库，精选试题－6,8)．设n＝(x，y，z)是平面EHGF的法向量，则n·FE―→＝0，n·HE―→＝0，即10x＝0，－6y＋8z＝0，所以可取n＝(0,4,3)．又AF―→＝(－10,4,8)，故|cos〈n，AF―→〉|＝|n·AF―→||n||AF―→|＝4515．所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为4515．2．(2014·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E-ACD的体积．解：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO．因为平面ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB．因为EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC．(2)因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．试题习题，尽在百度百度文库，精选试题如图，以A为坐标原点，AB―→的方向为x轴的正方向，|AP―→|为单位长，建立空间直角坐标系A-xyz，则D(0，3，0)，E0，32，12，AE―→＝0，32，12．设B(m,0,0)(m>0)，则C(m，3，0)，AC―→＝(m，3，0)．设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则n1·AC―→＝0，n1·AE―→＝0，即mx＋3y＝0，32y＋12z＝0，可取n1＝3m，－1，3．又n2＝(1,0,0)为平面DAE的法向量，由题设|cos〈n1，n2〉|＝12，即33＋4m2＝12，解得m＝32．因为E为PD的中点，所以三棱锥E-ACD的高为12．三棱锥E-ACD的体积V＝13×12×3×32×12＝38．3．(2016·山东高考)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；(2)已知EF＝FB＝12AC＝23，AB＝BC，求二面角F-BC-A的余弦值．解：(1)证明：设CF的中点为I，连接GI，HI．在△CEF中，因为点G，I分别是CE，CF的中点，试题习题，尽在百度百度文库，精选试题所以GI∥EF．又EF∥OB，所以GI∥OB．在△CFB中，因为H，I分别是FB，CF的中点，所以HI∥BC．又HI∩GI＝I，BC∩OB＝B，所以平面GHI∥平面ABC．因为GH?平面GHI，所以GH∥平面ABC．(2)法一：连接OO′，则OO′⊥平面ABC．又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC．以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．由题意得B(0,23，0)，C(－23，0,0)．过点F作FM⊥OB于点M，所以FM＝FB2－BM2＝3，可得F(0，3，3)．故BC―→＝(－23，－23，0)，BF―→＝(0，－3，3)．设m＝(x，y，z)是平面BCF的法向量．由m·BC―→＝0，m·BF―→＝0，可得－23x－23y＝0，－3y＋3z＝0.试题习题，尽在百度百度文库，精选试题可得平面BCF的一个法向量m＝－1，1，33．因为平面ABC的一个法向量n＝(0,0,1)，所以cos〈m，n〉＝m·n|m|·|n|＝77，所以二面角F-BC-A的余弦值为77．法二：如图，连接OO′，过点F作FM⊥OB于点M，则有FM∥OO′．又OO′⊥平面ABC，所以FM⊥平面ABC，可得FM＝FB2－BM2＝3．过点M作MN⊥BC于点N，连接FN，可得FN⊥BC，从而∠FNM为二面角F-BC-A的平面角．又AB＝BC，AC是圆O的直径，所以MN＝BMsin45°＝62．从而FN＝422，可得cos∠FNM＝77．所以二面角F-BC-A的余弦值为77．4．(2016·天津高考)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2．(1)求证：EG∥平面ADF；(2)求二面角O-EF-C的正弦值；(3)设H为线段AF上的点，且AH＝23...
