百度文库，精选习题试题习题，尽在百度突破点3平面向量[核心知识提炼]提炼1平面向量共线、垂直的两个充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：(1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.提炼2数量积常见的三种应用已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)证明向量垂直：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(2)求向量的长度：|a|＝a·a＝x21＋y21.(3)求向量的夹角：cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.提炼3平面向量解题中应熟知的常用结论(1)A，B，C三点共线的充要条件是存在实数λ，μ，有OA→＝λOB→＋μOC→，且λ＋μ＝1.(2)C是线段AB中点的充要条件是OC→＝12(OA→＋OB→)．(3)G是△ABC的重心的充要条件为GA→＋GB→＋GC→＝0，若△ABC的三个顶点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心坐标为x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33.(4)PA→·PB→＝PB→·PC→＝PA→·PC→?P为△ABC的垂心．(5)非零向量a，b垂直的充要条件：a⊥b?a·b＝0?|a＋b|＝|a－b|?x1x2＋y1y2＝0.(6)向量b在a的方向上的投影为|b|cosθ＝a·b|a|，百度文库，精选习题试题习题，尽在百度向量a在b的方向上的投影为|a|cosθ＝a·b|b|.[高考真题回访]回访1平面向量的线性运算1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝()A．(－7，－4)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)A[设C(x，y)，则AC→＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以x＝－4，y＝－2，从而BC→＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.]2．(2014·全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→＋FC→＝()A.BC→B.12AD→C.AD→D.12BC→C[如图，EB→＋FC→＝EC→＋CB→＋FB→＋BC→＝EC→＋FB→＝12(AC→＋AB→)＝12·2AD→＝AD→.]回访2平面向量的数量积3．(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C.1D．2C[法一： a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，百度文库，精选习题试题习题，尽在百度从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.法二： a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.]4．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.7[ a＝(－1,2)，b＝(m,1)，∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.]5．(2013·全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.2[|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°. c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t×1×1×12＋(1－t)×1＝t2＋1－t＝1－t2. b·c＝0，∴1－t2＝0，∴t＝2.]回访3数量积的综合应用6．(2012·全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.32[ a，b的夹角为45°，|a|＝1，∴a·b＝|a|·|b|cos45°＝22|b|，百度文库，精选习题试题习题，尽在百度|2a－b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝32.]热点题型1平面向量的运算题型分析：该热点是高考的必考点之一，考查方式主要体现在以下两个方面：一是以平面图形为载体考查向量的线性运算；二是以向量的共线与垂直为切入点，考查向量的夹角、模等．【例1】(1)(2017·衡水模拟)已知平面向量m，n的夹角为π6，且|m|＝3，|n|＝2，在△ABC中，AB→＝2m＋2n，AC→＝2m－6n，D为BC的中点，则|AD→|＝()A．2B．4C．6D．8(2)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF→·BC→的值为()【导学号：04024046】A．－58B.18C.14D.118(1)A(2)B[(1)由题意得AD→＝12(AB→＋AC→)＝2(m－n)，所以|AD→|＝2m－n2＝2m2＋n2－2m·n＝23＋4－2×2×3×32＝2，故选A.百度文库，精选习题试题习题，尽在百度(2)如图所示，AF→＝AD→＋DF→.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以AD→＝12AB→，DF→＝12AC→＋14AC→＝34AC→，所以AF→＝12AB→＋34AC→.又BC→＝AC→－AB→，则AF→·BC→＝12AB→＋34AC→·(AC→－AB→)...
