3.4模型为AR(1)-GARCH(1,1)，假定εt服从自由度为v的标准化的t分布，导出数据的条件对数似然函数。数据为r=[r1,r2,……rn]模型为rt=u+φ1rt-1+atat=σtεtσt2=α0+α1at-12+β1σt-12由于εt服从自由度为v的标准化的t分布，所以有εt的概率密度函数为f(εt)=Г(v+12)Г(v2)√(v−2)π(1+εt2v−2)-(v+1)/2其中Г(x)为Gamma函数（Г(x)=∫0infy(x−1)e−ydy）由于at=σtεt，at的条件似然函数为f(am+1,……,at)=∏t=m+1TГ(v+12)Г(v2)√(v−2)π1σt(1+εt2(v−2)σt2)-(v+1)/2所以对数条件似然函数为L=T{ln(Г(v+12))-ln(Г(v2))-12ln[(v-2)n]}-12∑t=1T¿¿ln(σt2)+(1+v)ln(1+at2(v−2)σt2)]带入实际的数据T=t，at=rt-u-φ1rt-1，同时又有σt2=α0+α1at-12+β1σt-12，所以有了第一个σ1后就可以递推出其余的σt。3.5对Intel股票的对数收益率建立GARCH模型，并进行向前1到5步的波动率预测。数据的图形如下：同时ACF和PACF如下：可知模型的基本形式应该为MA(1)。尝试对残差建立ARMA(0,1)~Garch(1,1)模型，结果为*-----------------------------------------------------**GARCHModelFit**-----------------------------------------------------*ConditionalVarianceDynamics-----------------------------------GARCHModel:sGARCH(1,1)MeanModel:ARFIMA(1,0,0)Distribution:normOptimalParameters------------------------------------EstimateStd.ErrortvaluePr(>|t|)mu0.0258070.0064414.006450.000062ar10.0270090.0547260.493530.621640omega0.0012350.0006152.008190.044624alpha10.0891860.0333092.677530.007417beta10.8366460.05554615.062320.000000LogLikelihood:238.1461检验残差的ACF发现模型可以满足要求。所以最终拟合的Garch模型为(1-0.027009*B)yt=0.025807+εtεt=ut*htht~N(0,σn2)ut2=0.001235+0.089186*at-12+0.836646*σt-12下面是向前1到5步的预测结果*---------------------------------------------------------**GARCHModelForecast**---------------------------------------------------------*Model:sGARCHHorizon:10RollSteps:0OutofSample:00-rollforecast:sigmaseries3730.12330.024263740.12360.026033750.12400.026073760.12430.026083770.12460.02608其中372就是03年12月的数据下图是预测结果趋势图3.6(a)利用对数收益率和5%的显著性水平检验对数收益率中的相关性。观察对数收益率的ACF图形可以发现明显的一阶相关性。取12阶滞后的Ljung&Box检验的结果如下Box-Ljungtestdata:mrkX-squared=24.3218,df=12,p-value=0.01838发现有显著的自相关性。尝试对序列建立ARMA(1,0)模型arima(x=mrk,order=c(1,0,0))Coefficients:ar1intercept-0.09110.0121s.e.0.03800.0024sigma^2estimatedas0.004746:loglikelihood=868.06,aic=-1730.13残差mrk$residuals=(1+0.0911*B)mrkt没有序列相关。(b)利用Ljung&Box统计量，在6以及12个间隔下验证序列的ARCH效应。令arch=mrk$residuals^2，进行Ljung&Box检验间隔为6：Box-Ljungtestdata:archX-squared=25.0263,df=6,p-value=0.0003376间隔为12：Box-Ljungtestdata:archX-squared=35.2562,df=12,p-value=0.0004263在5%的显著性水平下无论是6还是12的间隔都是有显著的ARCH效应。(c)对数据识别一个ARCH模型，然后拟合*------------------------------------------------------**GARCHModelFit**------------------------------------------------------*ConditionalVarianceDynamics-----------------------------------GARCHModel:sGARCH(1,0)MeanModel:ARFIMA(1,0,0)Distribution:normOptimalParameters------------------------------------EstimateStd.ErrortvaluePr(>|t|)mu0.0122690.0024115.08940.000000ar1-0.0802210.040635-1.97420.048358omega0.0044330.00029814.89770.000000alpha10.0663490.0430291.54200.123084模型形式为：(1+0.080221*B)mrkt=0.012269+εtεt=ut*htht~N(0,σn2)ut2=0.004433+0.066349*at-12下面是拟合的残差图以及置信区间，发现拟合是有效的。3.7(a)利用Ljung&Box统计量，在6以...
