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函数北京高考题二——导数1.（2011年文科18）已知函数，（I）求的单调区间；（II）求在区间上的最小值12.（2012年文科18）函数，．（Ⅰ）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；（Ⅱ）当，时，若函数在区间上的最大值为，求的取值范围．23.（2012年理科18）已知函数(),.(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.34.（2013年文科18．）已知函数f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．45.（2013年理科18．）设L为曲线C：y＝在点(1，0)处的切线．(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方．56.（2014年文科20.）已知函数.（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）67．（2014年理科18.）已知函数，（1）求证：；（Ⅱ）若在上恒成立，求的最大值与的最小值71.（2011年文科18）解：（I），令；所以在上递减，在上递增；（II）当时，函数在区间上递增，所以；当即时，由（I）知，函数在区间上递减，上递增，所以；当时，函数在区间上递减，所以。2.（2012年文科18）解：（Ⅰ），．因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以，且．即，且．解得，．（Ⅱ）记．当，时，，．令，得，．与在上的情况如下：由此可知：当≤时，函数在区间上的最大值为；当时，函数在区间上的最大值小于．8因此，的取值范围是3.（2012年文科18）解：（）由为公共切点可得：，则，，，则，，①又，，，即，代入①式可得：．（2），设则，令，解得：，；，，原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增①若，即时，最大值为；②若，即时，最大值为③若时，即时，最大值为．综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为已知4.（2012年理科18）18．解：由f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，得f′(x)＝x(2＋cosx)．(1)因为曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cosa)＝0，b＝f(a)．解得a＝0，b＝f(0)＝1.(2)令f′(x)＝0，得x＝0.f(x)与f′(x)的情况如下：x(－∞，0)0(0，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘1↗所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝11时，曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．95.（2013年理科18．）设L为曲线C：y＝在点(1，0)处的切线．(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方．18．解：(1)设f(x)＝，则f′(x)＝.所以f′(1)＝1.所以L的方程为y＝x－1.(2)令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(x>0，x≠1)．g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.当01时，x2－1>0，lnx>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增．所以g(x)>g(1)＝0(x>0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．7．解：（1）证明： ，∴，即在上单调递增，∴在上的最大值为，所以．（2）一方面令，，则，由（1）可知，，故在上单调递减，从而，故，所以．令，，则，当时，，故在上单调递减，从而，所以恒成立．当时，在有唯一解，且，，故在上单调递增，从而，即与恒成立矛盾，综上，，故．解答：解：（Ⅰ）由f（x）=2x33x﹣得f′（x）=6x23﹣，令f′（x）=0得，x=﹣或x=，f （﹣2）=10﹣，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=1﹣，f∴（x）在区间[2﹣，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点p（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0），10则y0=23x﹣0，且切线斜率为k=63﹣，∴切线方程为yy﹣0=（63﹣）（xx﹣0），ty∴﹣0...