第一节函数及其表示【考纲下载】1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析式法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．1．函数与映射的概念函数映射两集合A，BA，B是两个非空数集A，B是两个非空集合对应关系f：A→B按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应按某一个确定的对应关系f，对于集合A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应名称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射2.函数的构成要素函数由定义域、对应关系、值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中，(1)定义域：自变量x的取值的集合A.(2)值域：函数值的集合{f(x)|x∈A}．3．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图像法．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．1“．函数概念中的集合A、B”“与映射概念中的集合A、B”有什么区别？提示：函数概念中的A、B是两个非空数集，而映射中的集合A、B是两个非空的集合即可．2．函数是一种特殊的映射，映射一定是函数吗？提示：不一定．3．已知函数f(x)与g(x)．(1)若它们的定义域和值域分别相同，则f(x)＝g(x)成立吗？(2)若它们的定义域和对应关系分别相同，则f(x)＝g(x)成立吗？提示：(1)不成立；(2)成立．1．下列各图形中是函数图象的是()解析：选D由函数的定义可知选项D正确．2．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．f(x)＝|x|，g(x)＝B．f(x)＝，g(x)＝()2C．f(x)＝，g(x)＝x＋1D．f(x)＝·，g(x)＝解析：选A对于A，g(x)＝＝|x|，且定义域相同，所以A项表示同一函数；对于B、C、D，函数定义域都不相同．3．(·江西高考)函数y＝ln(1－x)的定义域为()A．(0,1)B．[0,1)C．(0,1]D．[0,1]解析：选B要使函数y＝ln(1－x)有意义，需即0≤x<1.4．(·青岛模拟)设函数f(x)＝则f的值为________．解析：由题易知，f(2)＝4，＝，故f＝f＝1－2＝.答案：5．(教材习题改编)A＝{x|x是锐角}，B＝(0,1)，从A到B“”的映射是求余弦，与A中元素60°相对应的B中的元素是________；与B中元素相对应的A中的元素是________．解析：当x＝60°时，y＝cos60°＝；当x∈(0°，90°)，cosx＝时，x＝30°.答案：30°考点一函数的定义域[例1](1)(·南昌模拟)函数f(x)＝的定义域是()A.B.C.D.(2)已知函数f(x2－1)的定义域为[0,3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．[自主解答](1)由题意得解得x>－且x≠1.(2)因为函数f(x2－1)的定义域为[0,3]，所以－1≤x2－1≤8，故函数y＝f(x)的定义域为[－1,8]．[答案](1)D(2)[－1,8]【互动探究】本例(2)改为：f(x)的定义域为[0,3]，求y＝f(x2－1)的定义域．解：因为f(x)的定义域为[0,3]，所以0≤x2－1≤3，即1≤x2≤4，解得1≤x≤2或－2≤x≤－1，故函数y＝f(x2－1)的定义域为[－2，－1]∪[1,2]．【方法规律】1．简单函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．2．抽象函数的定义域(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．1．(·咸阳模拟)如果函数f(x)＝ln(－2x＋a)的定义域为(∞－，1)，则实数a的值为()A．－2B．－1C．1D．2解析：选D －2x＋a>0，∴x<，∴＝1，∴a＝2.2．已知f(x)的定义域是[0,4]，则f(x＋1)＋f(x－1)的定义域是________．解析：由f(x)的定义域为[0,4]，得解得1≤x≤3，即函数f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1,3]．答案：[1,3]考点二求函数解析式[例2](1)已知f(2x＋1)＝4x2＋2x＋1，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，求f(x)的解析式．[自主解答](1)令t＝2x＋1，则x＝(t－1)，所以，f(t)＝42＋...
