高考数学一轮复习（知识回扣+热点突破+能力提升）空间向量在立体几何中的应用 理 北师大版VIP免费

第七节空间向量在立体几何中的应用【考纲下载】1．理解直线的方向向量与平面的法向量．2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．3．能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)．4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．1．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2.l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔m·n＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α、β的法向量分别为n，m.α∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝02.两直线的夹角(1)当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在[0，]内的角叫作两直线的夹角．(2)当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角，其夹角θ∈(0，]．(3)已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.当〈s1，s2≤〉时，直线l1与l2的夹角等于〈s1，s2〉；当＜〈s1，s2≤〉π时，直线l1与l2的夹角等于π－〈s1，s2〉．3．平面间的夹角如图所示，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R.我们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．已知平面π1和π2的法向量分别为n1和n2，当0≤〈n1，n2≤〉时，平面π1与π2的夹角等于〈n1，n2〉；当<〈n1，n2≤〉π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n1，n2〉．4．直线与平面的夹角平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角．设直线l的方向向量为s，平面π的法向量为n，直线l与平面π的夹角为θ，则sinθ＝|cos〈s，n〉|＝.5．点到平面的距离的向量求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝.1．在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？提示：给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标．2．两向量的夹角的范围是什么？两异面直线所成角呢？直线与平面所成角呢？二面角呢？提示：两向量的夹角范围是[0，π]；两异面直线所成角的范围是；直线与平面所成角的范围是；二面角的范围是[0，π]，注意以上各角取值范围的区别．1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．lαD．l与α斜交解析：选B a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)∴n＝－2a，即a∥n.∴l⊥α.2．若平面α、β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确解析：选C n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0，∴n1与n2不垂直，∴α与β相交但不垂直．3．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量为()A.B.C．±D.解析：选C设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，则即y＋z＝0.令z＝2，则y＝－2，x＝1.即n＝(1，－2,2)．故其单位法向量n0＝±＝±.4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．解析：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，∴＝(0,1，－1)，＝，设平面A1ED的法向量为n1＝(1，y，z)，则∴∴n1＝(1,2,2)， 平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝.故所成的锐二面角的余弦值为.答案：5．正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是______．解析：如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P，则＝(2a,0,0)，＝，＝(a，a,0)，设平面PAC的一个法向量为n，可求得n＝(0,1,1)，则cos〈，n〉＝＝＝，∴〈，n〉＝60°，∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.答案：30°考点一利用空间向量证明平行、垂直[例1]如图所示，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD...