第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲下载】1．理解命题的概念．2“．了解若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．1．命题在数学中，可以判断真假的用文字或符号表达的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件前提：条件为p，结论为q.定义：(1)若p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，称p是q的充要条件，q也是p的充要条件．(3)若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．1．一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个命题的否定仅是否定它的结论．2“．p是q”“的充分不必要条件与p的一个充分不必要条件是q”两者的说法相同吗？“提示：两者说法不相同．p的一个充分不必要条件是q”“等价于q是p的充分不必要条”“件，显然这与p是q”的充分不必要条件是截然不同的．1．(·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}“，则a＝3”“是A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A当a＝3时，A＝{1,3}，A⊆B；反之，当A⊆B时，a＝2或3“，所以a＝3”“是A⊆B”的充分而不必要条件．2“．命题若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是()A“．若x＜y，则x2＜y2”B“．若x＞y，则x2＞y2”C“．若x≤y，则x2≤y2”D“．若x≥y，则x2≥y2”解析：选C“根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题若x2＞y2，则x＞y”的“逆否命题是若x≤y，则x2≤y2”．3．(教材习题改编)“命题如果b2－4ac＞0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的”实根的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：选D“原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，则b2－4ac＞0”，为真命题，则它的否命题也为真．4“．命题若f(x)是奇函数，则f(－x)”是奇函数的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析：选B“原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故若f(x)是奇函数，则f(－x)”是奇函数的否命题是B选项．5．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是()A．a＞b＋1B．a＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b3解析：选A由a＞b＋1，且b＋1＞b，得a＞b；反之不成立.考点一四种命题的关系[例1](1)“命题若x＞1，则x＞0”的否命题是()A．若x＞1，则x≤0B．若x≤1，则x＞0C．若x≤1，则x≤0D．若x＜1，则x＜0(2)“命题若x，y都是偶数，则x＋y”也是偶数的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数[自主解答](1)“因为x＞1”“的否定为x≤1”“，x＞0”“的否定为x≤0”，所以命题“若x＞1，则x＞0”“的否命题为：若x≤1，则x≤0”．(2)“由于x，y”“都是偶数的否定表达是x，y”“不都是偶数，x＋y”是偶数的否定表达是“x＋y”“不是偶数，故原命题的逆否命题为若x＋y不是偶数，则x与y”不都是偶数．[答案](1)C(2)C【互动探究】试写出本例(2)中命题的逆命题和否命题，并判断其真假性．解：逆命题：若x＋y是偶数，则x，y都是偶数．是假命题．否命题：若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数．是假命题．【方法规律】判断四种命题间关系的方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．(2)原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用．1．命题p...
