第一节平面向量的概念及其线性运算【考纲下载】1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线的判定定理和性质定理(1)向量共线的判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线，即b＝λa(a≠0)⇒a∥b.(2)向量共线的性质定理：若b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa，即a∥b(a≠0)⇒b＝λa.1．两向量共线与平行是两个不同的概念吗？两向量共线是指两向量的方向一致吗？提示：方向相同或相反的一组非零向量，叫做平行向量，又叫共线向量．显然两向量平行或共线，其方向可能相同，也可能相反．2．两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同？“”提示：平行向量也叫共线向量，这里的平行与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上．3．λ＝0与a＝0时，λa的值是否相等？提示：相等，且均为0.4．当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立吗？提示：成立．1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量解析：选C若a与b都是零向量，则a＝b，故选项C正确．2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k()A．共线B．不共线C．共线且同向D．不一定共线解析：选D可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A、B、C选项都不正确，故D正确．3．D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于()A．－＋B．－－C．－D．＋解析：选A如图，由于D是AB的中点，所以＝＋＝＋＝－＋4．(教材习题改编)化简－＋－的结果为________．解析：－＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝.答案：5．已知a与－b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ的值为________．解析： a＋λb与－(b－3a)共线，∴存在实数μ，使a＋λb＝μ(3a－b)，即∴答案：－考点一向量的概念[例1]给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②若＝，则四边形ABCD为平行四边形；③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为()A．1B．2C．3D．4[自主解答]①不正确．|a|＝|b|但a，b的方向不确定，故a，b不一定相等；②不正确．因为＝，A，B，C，D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形；③不正确．两向量不能比较大小；④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．[答案]D【方法规律】解决向量的概念问题应关注五点(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(5)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量.下列说法中错误的是()A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B．若向量a和b不共线，则a和b都是非零向量C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D．方向相反的两个非零向量必不相等解析：选C选项A中向量与有向线段是两个完全不同的概念，故正确；选项B中零向量与任...
