第八节曲线与方程【考纲下载】了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．2．求曲线方程的基本步骤1．若曲线与方程的对应关系中只满足(2)会怎样？“”提示：若只满足以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，则以这个方程的解为坐标的点的集合形成的曲线可能是已知曲线的一部分，也可能是整条曲线．2．动点的轨迹方程和动点的轨迹有什么区别？“”“”提示：求动点的轨迹方程和求动点的轨迹是不同的，前者只需求出轨迹的方程，标出变量x，y的范围；后者除求出方程外，还应指出方程表示的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、大小等有关数据．1“．已知命题曲线C上的点的坐标是方程f(x，y)＝0”的解是正确的，则下列命题中正确的是()A．满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上B．方程f(x，y)＝0是曲线C的方程C．方程f(x，y)＝0所表示的曲线不一定是曲线CD．以上说法都正确解析：选C因为曲线C可能只是方程f(x，y)＝0所表示的曲线上的某一小段，因此只有C正确．2．已知曲线C的方程为x2－xy＋y－5＝0，则下列各点中，在曲线C上的点是()A．(－1,2)B．(1，－2)C．(2，－3)D．(3,6)解析：选A将四个点的坐标一一代入曲线C的方程，只有A选项成立，因此(－1,2)在曲线C上．3．函数y＝的图象是()A．抛物线B．圆的一部分C．抛物线的一部分D．以上都不是解析：选C函数y＝的定义域是x≥0，值域是y≥0，则y＝，即y2＝4x(x≥0)，所以函数y＝的图象是顶点在原点，开口向右的抛物线位于x轴上方的部分．4．已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线左支C．一条射线D．双曲线右支解析：选C根据双曲线的定义知动点P的轨迹类似双曲线，但不满足2c>2a>0的条件故动点P的轨迹是一条射线．5．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是()A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段解析：选D当a＝3时，点P的轨迹是线段，当a≠3时，点P的轨迹是椭圆．考点一定义法求轨迹方程[例1](·新余模拟)已知A(－5,0)，B(5,0)，动点P满足||，||,8成等差数列．(1)求点P的轨迹方程；(2)对于x轴上的点M，若满足||·||＝2，则称点M为点P“”对应的比例点．问：对任意一个确定的点P“”，它总能对应几个比例点？[自主解答](1)由已知得||－||＝8，∴点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝4，b＝3，c＝5，∴点P的轨迹方程为－＝1(x≥4)(2)设P(x0，y0)(x0≥4)，M(m,0)． －＝1，∴y＝9；又＝(－5－x0，－y0)，＝(5－x0，－y0)，则||||＝·＝＝x－16又2＝||2＝(x0－m)2＋(y0)2＝x－2mx0＋m2－9，由||||＝2得，m2－2mx0＋7＝0，(*)．所以Δ＝4x－28≥36>0，∴方程(*)恒有两个不等实根．∴对任意一个确定的点P，它总能对应2“”个比例点．【互动探究】“若将本例中的条件||，||,8”“改为||，||，8”，求点P的轨迹方程．解：由已知得||－||＝8，∴点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且a＝4，b＝3，∴点P的轨迹方程为－＝1(x≤－4)．【方法规律】定义法求轨迹方程及其注意点(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．1．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是什么？解：由题意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又 |AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又c＝7，a＝1，可得b2＝48，故点F的轨迹方程为y2－＝1(y≤－1)．2．点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6...
