第四节数列求和1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．1．公式法与分组求和法(1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．①等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.②等比数列的前n项和公式：Sn＝(2)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．2．倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法如果一个数列{an}的前n“”项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．(2)并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972…＋＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)…＋＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)…＋＋(2＋1)＝5050.3．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．1．求Sn＝a＋2a2＋3a3…＋＋nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．你认为该说法正确吗？为什么？提示：不正确．当a≠0，且a≠1时，可用错位相减法求解．2．如果数列{an}是周期为k(k为大于1的正整数)的周期数列，那么Skm＝mSk.你认为该说法正确吗？提示：正确．3．如果数列{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，则与相等吗？提示：相等．1．数列{an}的通项公式是an＝，前n项和为9，则n＝()A．9B．99C．10D．100解析：选B an＝＝－.∴Sn＝a1＋a2＋a3…＋＋an＝(－1)＋(－)…＋＋(－)＝－1.∴－1＝9，即＝10，∴n＝99.2．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为()A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n－2解析：选CSn＝a1＋a2＋a3…＋＋an＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)…＋＋(2n＋2n－1)＝(2＋22…＋＋2n)＋2(1＋2＋3…＋＋n)－n＝＋2×－n＝2(2n－1)＋n2＋n－n＝2n＋1＋n2－2.3．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2…＋＋a10＝()A．15B．12C．－12D．－15解析：选A an＝(－1)n(3n－2)．∴a1＋a2…＋＋a10＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋(－13＋16)＋(－19＋22)＋(－25＋28)＝3×5＝15.4．一个数列{an}，当n是奇数时，an＝5n＋1；当n为偶数时，an＝2，则这个数列的前2m项的和是________．解析：当n为奇数时，{an}是以6为首项，以10为公差的等差数列；当n为偶数时，{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以，S2m＝S奇＋S偶＝ma1＋×10＋＝6m＋5m(m－1)＋2(2m－1)＝6m＋5m2－5m＋2m＋1－2＝2m＋1＋5m2＋m－2.答案：2m＋1＋5m2＋m－25．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝________.解析： an＝n·2n，∴Sn＝1·21＋2·22＋3·23…＋＋n·2n.①∴2Sn＝1·22＋2·23…＋＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.②①－②，得－Sn＝2＋22＋23…＋＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2.∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2.答案：(n－1)2n＋1＋2考点一公式法求和[例1](·浙江高考)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．(1)求d，an；(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|…＋＋|an|.[自主解答](1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4.所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.则当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|…＋＋|an|＝Sn＝－n2＋n.当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|…＋＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|…＋＋|an|＝【方法规律】三类可以使用公式求和的数列(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解．(2)奇数项和偶数项分别...
