第七节双曲线【考纲下载】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2．了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用．3．理解数形结合的思想．1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线：(1)在平面内；(2)与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数；(3)常数小于|F1F2|.2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1∞，＋)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长1．与两定点F1，F2的距离之差的绝对值大于、等于或小于常数2a的动点的轨迹各是什么？提示：当2a<|F1F2|且2a≠0时，轨迹是双曲线；若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|，则轨迹不存在．2“”．双曲线的离心率的大小与双曲线开口大小有怎样的关系？“”提示：离心率越大，双曲线的开口越大．1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．2C．4D．4解析：选C由题意知，a＝2，故实轴长为2a＝4.2．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的左焦点的坐标为()A.B.C.D．(－，0)解析：选C双曲线方程x2－2y2＝1可化为x2－＝1，所以a2＝1，b2＝，c2＝a2＋b2＝，c＝.因此，左焦点坐标为.3．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于()A．1B．17C．1或17D．以上答案均不对解析：选B由题意知|PF1|＝9
5.5．已知双曲线－＝1的右焦点的坐标为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为____________________．解析：依题意知()2＝9＋a，所以a＝4，故双曲线方程为－＝1，则渐近线方程为±＝0.即2x±3y＝0.答案：2x＋3y＝0或2x－3y＝0考点一双曲线的定义、标准方程[例1](1)(·天津高考)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为______________．(2)(·辽宁高考)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．[自主解答](1)由抛物线y2＝8x可知其准线方程为x＝－2，所以双曲线的左焦点为(－2,0)，即c＝2；又因为离心率为2，所以e＝＝2，故a＝1，由a2＋b2＝c2知b2＝3，所以该双曲线的方程为x2－＝1.(2)由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5，所以|PQ|＝4b＝16>2a，又因为A(5,0)在线段PQ上，所以P，Q在双曲线的一支上，且PQ所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知：所以|PF|＋|QF|＝28.即△PQF的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.[答案](1)x2－＝1(2)44【互动探究】本例(2)“中若PQ的长等于虚轴长的2”“倍改为若PQ的长等于实轴长的2”倍，则结果如何？解：依题意知|PQ|＝4a＝12>2a.又 A(5,0)在线段PQ上，∴PQ在双曲线的一支上．同样|PF|－|PA|＝2a＝6，|QF|－|QA|＝2a＝6.∴|PF|＋|QF|＝24.∴△PQF的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝24＋12＝36.【方法规律】双曲线定义运用中的两个注意点(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义；(2)“”在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件差的绝对值，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支．1．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.B.C.D.解析：选C 由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，∴|PF1|＝2|PF2|＝4，则cos∠F1PF2＝＝＝.2．已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线－＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于()A.B.C.D.解析：选A在...
