第三节圆的方程1．掌握确定圆的几何要素．2．掌握圆的标准方程与一般方程．1．圆的定义、方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心C的坐标(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：半径r＝2．点与圆的位置关系(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．(2)三个结论圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外；③(x0－a)2＋(y0－b)2
0时，上述方程才表示圆；当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，方程不表示任何图形．1．(教材习题改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)解析：选D圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．2．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0解析：选C将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线必定过圆心，而圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圆心坐标为(1,2)，且(1,2)在直线x－y＋1＝0上．3．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是()A．－10.解得－20)，则解得D＝－4，E＝－2，F＝－5.∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.(2)由已知可设圆心为(2，b)，由22＋b2＝(1－b)2＝r2，得b＝－，r2＝.故圆C的方程为(x－2)2＋2＝.[答案](1)x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10)(2)(x－2)2＋2＝【互动探究】本例(2)“中与直线y＝1”“相切改为圆心在y＝1”上，结果如何？解： 圆过点O(0,0)和点(4,0)．∴圆心在直线x＝2上，又 圆心在y＝1上，∴圆心的坐标为(2,1)，半径r＝＝.因此，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.【方法规律】求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．求下列圆的方程：(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．解：(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有解得a＝1，b＝－4，r＝2.故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3.与y＝－4x联立可得圆心为(1，－4)，所以半径r＝＝2.故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.(2)法一：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D...
