第二节直线的交点坐标与距离公式【考纲下载】1．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线的交点2．三种距离点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝1．两条直线位置关系与其对应方程组的解之间有何关系？提示：两条直线相交⇔方程组有唯一解；两条直线平行⇔方程组无解；两条直线重合⇔方程组有无穷多解．2．使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式；使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x、y的系数对应相等．1．(教材习题改编)原点到直线x＋2y－5＝0的距离是()A．1B.C．2D.解析：选Dd＝＝.2．两条直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋4＝0的交点为()A.B.C.D.解析：选B解方程组得所以两直线的交点为.3．(·烟台模拟)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为()A.B.C．4D．8解析：选Bl1的方程可化为6x＋8y－14＝0，又因为l2的方程为6x＋8y＋1＝0，所以l1与l2的距离d＝＝＝.4．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为____________．解析：因为l1与l2：x＋y－1＝0平行，所以可设l1的方程为x＋y＋b＝0.又因为l1与l2的距离是，所以＝，解得b＝1或b＝－3，即l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.答案：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝05．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一点，则b＝________.解析：由得将其代入x＋by＝0，得b＝－.答案：－考点一两直线的交点问题[例1](1)经过直线l1：x＋y＋1＝0与直线l2：x－y＋3＝0的交点P，且与直线l3：2x－y＋2＝0垂直的直线l的方程是____________．(2)(·锦州模拟)当00，故l1与l2的交点在第二象限．[答案](1)x＋2y＝0(2)二【互动探究】若将本例(1)“”“”中条件垂直改为平行，试求l的方程．解：由方程组解得即点P(2,1).又l∥l3，即k=2,故直线l的方程为y-1=2(x-2),即2x-y+5=0【方法规律】经过两条直线交点的直线方程的设法经过两相交直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(这个直线系方程中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)或m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0.已知直线l1：2x＋3y＋8＝0，l2：x－y－1＝0，l3：x＋ky＋k＋＝0，分别求满足下列条件的k的值：(1)l1，l2，l3相交于一点；(2)l1，l2，l3围成三角形．解：(1)直线l1，l2的方程联立得解得即直线l1，l2的交点为P(－1，－2)．又点P在直线l3上，所以－1－2k＋k＋＝0，解得k＝－.(2)由(1)知k≠－.当直线l3与l1，l2均相交时，有解得k≠且k≠－1，综上可得k≠－，且k≠，且k≠－1.考点二对称问题[例2]已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．[自主解答](1)设A′(x，y)，则由已知得解得∴A′.(2)在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则解得∴M′.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)．又 m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如D(1,1)，E(4,3)，则D，E关于点A(－1，－2)的对称点D′、E′...
