北京市西城区2017—2018学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2018.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A2．D3．C4．D5．D6．C7．B8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．10．，11．12．13．14．；注：第10，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为[4分][5分]，[7分]所以的最小正周期．[8分]（Ⅱ）因为，所以．[10分]当，即时，[11分]取得最大值为．[13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件A为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，[1分]在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，所以．[3分]（Ⅱ）X可能的取值为．[4分]记事件B为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，则，．[5分]；；．[8分]所以X的分布列为：X012P．[10分]注：学生得到X~，所以，同样给分．（Ⅲ）．[13分]17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为平面，所以．[1分]因为三棱柱中，，所以四边形为菱形，所以．[3分]所以平面．[4分]（Ⅱ）因为，平面，所以平面．[5分]因为平面平面，所以．[6分]因为平面平面，平面平面，平面平面，所以．[7分]所以四边形为平行四边形．[8分]（Ⅲ）在平面内，过作．因为平面，如图建立空间直角坐标系．[9分]由题意得，，，，，．因为，所以，所以．由（Ⅰ）得平面的法向量为．设平面的法向量为，则即令，则，，所以．[11分]所以．[13分]由图知二面角的平面角是锐角，所以二面角的大小为．[14分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当时，，所以．[2分]因为，，[4分]所以曲线在点处的切线方程为．[5分]（Ⅱ）．[6分]由，得．[7分]因为，所以．[8分]当时，由，得．所以存在唯一的，使得．[9分]与在区间上的情况如下：↗极大值↘所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．[11分]因为，[12分]且，所以在区间上恰有2个零点．[13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得，，所以．[2分]因为，[3分]所以，[4分]所以椭圆的方程为．[5分]（Ⅱ）若四边形是平行四边形，则，且.[6分]所以直线的方程为，所以，．[7分]设，．由得，[8分]由，得．且，．[9分]所以.．[10分]因为，所以．整理得，[12分]解得，或．[13分]经检验均符合，但时不满足是平行四边形，舍去．所以，或．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）②③．[3分]注：只得到②或只得到③给[1分]，有错解不给分．（Ⅱ）当时，设数列中出现频数依次为，由题意．①假设，则有（对任意），与已知矛盾，所以．同理可证：．[5分]②假设，则存在唯一的，使得．那么，对，有（两两不相等），与已知矛盾，所以．[7分]综上：，所以．[8分]（Ⅲ）设出现频数依次为．同（Ⅱ）的证明，可得，，则．取，，得到的数列为：．[10分]下面证明满足题目要求．对，不妨令，①如果或，由于，所以符合条件；②如果或，由于，，所以也成立；③如果，则可选取；同样的，如果，则可选取，使得，且两两不相等；④如果，则可选取，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意，总存在，使得，其中且两两不相等．因此满足题目要求，所以的最小值为．[13分]
