例析运用间接法求解排列组合应用题VIP专享VIP免费

2014年第4期福建中学数学37中把例2、例4中的“=”去掉，若再用拉格朗日中值定理把切割线“随意等价”替代，那就无法得到正确答案，给一线教师评卷带来极大的方便．参考文献【1]陈建威．关于拉格朗日(Lagrange)中值定理的逆定理问题．红河学院学报，1986(3)：133-138[2】陈天明，李云杰．基于考试的数形结合思想研究．福建中学数学，2012(5)：-7强化命题利用数学归纳法证明不等式黄俊峰袁方程湖北省大冶市第一中学(435100)对于数列型不等式<(或∑n>m)可以先加强为<+-厂(n)(或q>—l厂(聆))，然后可用数学归纳法证明．．下面举例说明．例求证：吉+1+⋯+1(∈N)分析(1)首先假设命题可以强化为1+．--+11-+4①9一十丽一①(2)利用数学归纳法可以证明，当时，吉一1②归纳假设吉+1+．．‘+丽1一，接下来要证1++一192k2k4③一+——+⋯+————+——⋯)25(+1)(+3)g(尼+1)一而由归纳假设只能得到1ll1一+——+···+—————=-+—————925f2十1)f2七+3)llll^'4g(尼)(2k+3)则需证1一+1一，即一1—(2k④。g()g(+1)+3)一(3)观察④式的结构，不等式右边分母是二次多项式，则不等式左边通分后也是一个二次多项式，从而g()=OH+b(a，b为待定系数)g()：日+6代入②得口+6≥⑤g(n)=an+6代入④得a(2k+3)(ak+b)(ak+n+6)，对k∈N恒成立，即4ak。+12ak+9aa2k+(2ab+口)．j}+b(a+b)对k∈N恒成立，比较系数可得a4，6≤4，结合⑤不妨取a：4，b=4，即g(n)=4n+4，故原不等式可以加强为9+1+．．·丽1≤1一∈)．(4)用数学归纳法证明上式即可．例析运用间接法求解排列组合应用题纪宏伟江苏省如皋高等师范学校(226500)对于排列组合中的应用题，一般都有两个方向的列式途径：一个是正面考虑，采用的是直接法，这也是大部分情况下采用的方法，另一种是间接法，就是先不考虑元素的约束条件，把所有的排列和组合数计算出来，再剔除不符合限制条件的情况，从而间接求出满足条件的结果，也称排除法．很多排列组合问题都有直接法和间接法两条思路．本文对间接法的应用情况简要分析，权当抛砖引玉．38福建中学数学2014年第4期1正面复杂，对立面相对简单某些排列组合问题的正面情况比较复杂，难以分清，或者计算繁琐，运算量大，但其对立面或反面的情况比较简单，易于处理，可以优先考虑间接法．这也就是通常所说的“正难则反”．先撷取一个简单的例子．例1从4名男生和5名女生中选出3人参加学校合唱团，至少有1名男生的选法有多少种?解析众所周知，像“至多”、“至少”之类的组合问题，通常都是对事件进行整体分类，然后看所求问题包含其中的多少个类，采用分类计数原理．本题“从4名男生和5名女生中选出3人”包含“1男2女”、“2男1女”、“3男”、“3女”这4种情况，而条件“3人中至少1名男生”，恰好包含这4种情况的前3种，故选法种数是cc；+c2c+C；=74．相比较而言，它的反面就简洁得多，因为“至少有1名男生的选法”相当于从总的这4种情况中去除最后一个情况，也即在所有选法(从9名学生中任选3人)中，去掉所选3人都是女生的选法，所以结果是一=74．例2从8名男医生和7名女医生中选派一个由8人组成的医疗队，其中男女医生都有的选法有多少种?解析满足条件要求的选法有7类：1男7女，2男6女，3男5女，4男4女，5男3女，6男2女，7男l女，不同的选法种数是：cc；+c2c；+cc；+c：c；+cc；+cc；+cc6434种．可见类别多，计算繁，让人烦．实际上，问题的反面却非常明确：当且仅当8人都是男医生的情况不符合题意，其余情况均满足要求，故选法有c一C6434种．例3现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙3人不能相邻的排法有多少种?解析本题中“甲、乙、丙3人不能相邻”包括“甲、乙、丙3人互不相邻”和“甲、乙、丙3人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻”，采用插空法和捆绑法，可得出A5A：+A5^2A：=36000种；但是注意到“不能相邻”的对立面就是“甲、乙、丙全相邻”，所以在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙3人不能相邻的排法数，这样共有A一A：：36000种．例4三个班级到甲、乙、丙、丁4个工厂进行实习，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有多少?解析本题...