数学期望和方差VIP免费

第四章数学期望和方差分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在实际问题中，随机变量的分布函数较难确定，而它的一些数字特征较易确定．并且在很多实际问题中，只需知道随机变量的某些数字特征也就够了.另一方面，对于一些常用的重要分布，如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布.第四章数学期望和方差第四章数学期望和方差随机变量的平均取值——数学期望随机变量取值平均偏离平均值的情况——方差描述两个随机变量之间的某种关系的数——协方差与相关系数本章内容第四章数学期望和方差引例:测量50个圆柱形零件直径(见下表)则这50个零件的平均直径为cm14.10501012101115107988尺寸（cm）89101112数量（个）8715101050§4.1数学期望第四章数学期望和方差换个角度看,从这50个零件中任取一个,它的尺寸为随机变量X,则X的概率分布为XP89101112508507501550105010则这50个零件的平均直径为14.10)(128128kkkkpkXPkD称之为这5个数字的加权平均,数学期望的概念源于此.第四章数学期望和方差数学期望的定义定义1.1设离散型随机变量X的概率分布为,2,1,)(kpxXPkk若无穷级数1kkkpx绝对收敛，则称其和为随机变量X的数学期望或均值，记作E(X).1)(kkkpxXE第四章数学期望和方差常见离散型随机变量的数学期望(1)0－1分布这时P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.故E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)=p.第四章数学期望和方差(2)二项分布X的取值为0,1,…,n.且P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,…,n.nkknkknppkCXE0)1()(nkknkppknknk1)1()!(!!10)1(1)1(nkknkknppCnpnkknkppknknnp1)1()1(1)1()!()!1()!1(np第四章数学期望和方差(3)泊松分布X的可能取值为0,1,2,…，且第四章数学期望和方差(4)几何分布X的可能取值为1,2,…,且P(X=k)=qk-1p,k=1,2,….p+q=1.第四章数学期望和方差注:在第三个等号中利用了等式这可以由等式两边同时对x求导数得到.第四章数学期望和方差例1对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第n件仍未发现废品则认为这批产品合格.假设产品数量很大，抽查到废品的概率是p，试求平均需抽查的件数.第四章数学期望和方差解：设X为停止检查时，抽样的件数，则X的可能取值为1,2,…,n，且.,;1,,2,1,}{11nkqnkpqkXPnk，于是其中pq11111)(nnkknqpkqXE第四章数学期望和方差111111nnkknkknqkqkq112222))1()2(2())1(321(nnnnnqqnqnqqqnqq121nqqqppqqnn)1(1111111)1()(nnkknqqkqXE第四章数学期望和方差定义1.2设X为连续型随机变量,其密度函数为f(x)，若积分dxxxf)(绝对收敛，则称此积分为随机变量X的数学期望或均值，记作E(X).dxxxfXE)()(注意：随机变量的数学期望的本质就是加权平均数，它是一个数，不再是随机变量。第四章数学期望和方差常见连续型分布的数学期望(5)指数分布E()随机变量X的密度为：第四章数学期望和方差第四章数学期望和方差设X的数学期望有限,概率密度f(x)关于.)(),()(XExfxf则对称，定理1证明).()(xfxxg令)()()(xfxxg)(xfx).(xgg(x)是奇函数.dxxfxXE)()(dxxfx)()(dxxfdxxfx)()()(dxxfx)()()(xt令dttft)(dttg)(.第四章数学期望和方差推论.2)(),,(~)1(baXEbaUX则若.)(),,(~)2(2XENX则若第四章数学期望和方差例2设X的概率密度为：其他,010,101,1)(xxxxxf求E(X).0)1()1()()(0110dxxxdxxxdxxxfXE解:注:由于f(x)是偶函数，由定理1.1也知E(X)=0.第四章数学期望和方差注意：不是所有的随机变量都有数学期望.例如：Cauchy分布的...