同济大学数学系《高等数学》(第7版)(下册)复习笔记及课后习题和考研真题精品VIP免费

1/106十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书第9章多元函数微分法及其应用9.1复习笔记一、基本概念1．多元函数的极限00(,),lim(,)xyxyfxyA⇔∀ε＞0，∃δ＞0，当22000xxyy时，有|f（x，y）－A|＜ε。2．多元函数的连续性（1）连续性的定义函数f（x，y）在点P0（x0，y0）处连续⇔0000(,),lim(,),xyxyfxyfxy（2）连续函数的性质定理①有界性与最大值最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值。注：若f（P）在有界闭区域D上连续，则必定存在常数M＞0，使得对一切0PD，有()fPM；且存在12,PPD，使得12max{()|},min{()|}fPfPPDfPfPPD②介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。③一致连续性定理在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续。注：若f（P）在有界闭区域D上连续，则对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得2/106十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书对于D上的任意两点P1，P2，只要当|P1P2|＜δ时，都有12fPfP成立。二、偏导数1．偏导数的定义函数z＝f（x，y）的偏导数：0,,,limxxxfxyfxxzyfxyx0,,,limyyxfyyfxzfxyyyy2．高阶偏导数222(,),(,)xxxyzzzzfxyfxyxxxyxxy222(,),(,)yxyyzzzzfxyfxyxyyxyyy3．定理如果函数z＝f（x，y）的两个二阶混合偏导数∂2z/∂y∂x及∂2z/∂x∂y在区域D内连续，则在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。三、全微分1．全微分存在条件如果函数z＝f（x，y）的偏导数∂z/∂x，∂z/∂y在点（x，y）连续，则函数在该点可微分。2．全微分计算dzzzxyxy3/106十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书四、多元复合函数的求导法则1．一元函数与多元函数复合的情形如果函数u＝φ（t）及v＝ψ（t）都在点t可导，函数z＝f（u，ν）在对应点（u，ν）具有连续偏导数，则复合函数z＝f[φ（t），ψ（t）]在点t可导，且有ddddddzzuzvtutvt2．多元函数与多元函数复合的情形如果函数u＝φ（x，y）及v＝ψ（x，y）都在点（x，y）具有对x及对y的偏导数，函数z＝f（u，ν）在对应点（u，ν）具有连续偏导数，则复合函数z＝f[φ（x，y），ψ（x，y）]在点（x，y）的两个偏导数都存在，且有zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy3．其他情形如果函数u＝φ（x，y）在点（x，y）具有对x及对y的偏导数，函数v＝ψ（y）在点y可导，函数z＝f（u，v）在对应点（u，v）具有连续偏导数，则复合函数z＝f[φ（x，y），ψ（x，y）]在点（x，y）的两个偏导数都存在，且有zzuxuxddzzuzvyuyvy4/106十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书五、隐函数的求导公式1．隐函数存在定理1设函数F（x，y）在点P（x0，y0）的某一邻域内具有连续偏导数，且F（x0，y0）＝0，Fx（x0，y0）≠0，则方程F（x，y）＝0在点（x0，y0）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y＝f（x），它满足条件y0＝f（x0），并有dy/dx＝－Fx/Fy。2．隐函数存在定理2设函数F（x，y，z）在点P（x0，y0，z0）的某一邻域内具有连续偏导数，且F（x0，y0，z0）＝0，Fz（x0，y0，z0）≠0，则方程F（x，y，z）＝0在点（x0，y0，z0）的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z＝f（x，y），它满足条件z0＝f（x0，y0），并有∂z/∂x＝－Fx/Fz，∂z/∂y＝－Fy/Fz。3．隐函数存在定理3设F（x，y，u，v）、G（x，y，u，v）在点P（x0，y0，u0，v0）的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又F（x0，y0，u0，v0）＝0，G（x0，y0，u0，v0）＝0，且偏导数所组成的函数行列式（又称雅可比式）(,)(,)FFFGuvJGGuvuv在点P（x0，y0，u0，v0）不等于零，则方程组F（...