1非线性方程的解法1引言数学物理中的许多问题归结为解函数方程的问题，即，0)(xf(1.1)这里，)(xf可以是代数多项式，也可以是超越函数。若有数*x为方程0)(xf的根，或称函数)(xf的零点。设函数)(xf在],[ba内连续，且0)()(bfaf。根据连续函数的性质知道，方程0)(xf在区间],[ba内至少有一个实根；我们又知道，方程0)(xf的根，除了极少简单方程的根可以用解析式表达外，一般方程的根很难用一个式子表达。即使能表示成解析式的，往往也很复杂，不便计算。所以，具体求根时，一般先寻求根的某一个初始近似值，然后再将初始近似值逐步加工成满足精度要求为止。如何寻求根的初始值呢？简单述之，为了明确起见，不妨设)(xf在区间],[ba内有一个实的单根，且0)(,0)(bfaf。我们从左端出点ax0出发，按某一预定的步长h一步一步地向右跨，每跨一步进行一次根的“搜索”，即检查每一步的起点kx和1kx(即，hxk)的函数值是否同号。若有：0)(*)(hxfxfkk(1.2)那么所求的根必在),(hxxkk内，这时可取kx或hxk作为根的初始近似值。这种方法通常称为“定步长搜索法”。另外，还是图解法、近似方程法和解析法。2迭代法2.1迭代法的一般概念迭代法是数值计算中一类典型方法，不仅用于方程求根，而且用于方程组求解，矩阵求特征值等方面。迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法。首先取一个精糙的近似值，然后2用同一个递推公式，反复校正这个初值，直到满足预先给定的精度要求为止。对于迭代法，一般需要讨论的基本问题是：迭代法的构造、迭代序列的收敛性天收敛速度以及误差估计。这里，主要看看解方程迭代式的构造。对方程(1.1)，在区间],[ba内，可改写成为：)(xx(2.1)取],[0bax，用递推公式：)(1kkxx,,2,1,0k(2.2)可得到序列：0210}{,,,,kkkxxxxx(2.3)当k时，序列0}{kkx有极限x~，且)(x在x~附近连续，则在式(2.2)两边极限，得，)~(~xx即，x~为方程(2.1)的根。由于方式(1.1)和方程(2.1)等价，所以，xx~*即，*limxxkk式(2.2)称为迭代式，也称为迭代公式；)(x可称为迭代函数。称求得的序列0}{kkx为迭代序列。2.2程序和实例下面是基于MATLAB的迭代法程序，用迭代格式)(1nnxgp，求解方程)(xgx，其中初始值为0p。**************************************************************************function[p,k,err,P]=fixpt(f1021,p0,tol,max1)%f1021是给定的迭代函数。%p0是给定的初始值。3%tol是给定的误差界。%max1是所允许的最大迭代次数。%k是所进行的迭代次数加1。%p是不动点的近似值。%err是误差。%P={p1,p2,⋯,pn}P(1)=p0;fork=2:max1P(k)=feval('f1021',P(k-1));k,err=abs(P(k)-P(k-1))p=P(k);if(err>prog1021计算结果如下。k=2err=0.45894k=3err=0.1052k=4err=0.0292k=5err=0.0078k=6err=0.0021k=7err=5.7408e-004k=8err=1.5525e-004k=9err=4.1975e-005k=10err=1.1350e-005k=11err=3.0688e-006P=Columns1through60.50000.95890.85370.88290.87510.8772Columns7through110.87660.87680.87670.87670.8767ans=0.87673二分法3.1二分法原理二分法是方程求解最直观、最简单的方法。二分法以连续函数的介值定理为基础的。由介值定理知道，若函数)(xf区间],[ba上连续，且0)(*)(bfaf，即)(af和)(bf负号相反，5则)(xf在],[ba内一定有实根。二分法的基本思想是：用对分区间的方法根据分点处函数)(xf的符号逐步将有限区间缩小，使在足够小的区间内，方程有且仅有一根。下面简述其基本步骤。首先记bbaa00,。用中点2000bax将区间],[00ba等分成2个小区间：],[00xa和],[00bx。然后分析可能存在的三种情况：如果0)(*)(0xfaf，则0x是零点，也就是方程的根。如果0)(*)(0xfaf，则区间],[00xa内存在...
