4.3.3余角和补角1.知道余角和补角的定义,能求一个角的余角和补角.2.明白“同角(等角)的余角相等,同角(等角)的补角相等”,并能应用余角、补角的性质进行简单的计算和说理.3.知道方位角的定义,会画方位角,能用方位角描述物体相对于某点的方向.4.重点:余角和补角的定义及性质,方位角的画法.【问题探究】阅读教材P137~138,回答下列问题.探究一:1.如果两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角,即其中一个角是另一个角的余角.2.如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角,即其中一个角是另一个角的补角.【讨论】1.画出一个锐角的余角和补角,互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边呢?不一定.2.如果∠1+∠2=90°,能否说∠1是余角,∠2是余角呢?为什么?∠1+∠2=180呢?不能,应说成∠1和∠2互余,∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角.互余、互补是针对两个角而言.∠1与∠2互补.【预习自测】已知∠α=35°,则∠α的余角是(B)A.35°B.55°C.65°D.145°探究二:1.(1)如果∠1与∠α互余,∠2与∠α互余,那么∠1与∠2相等吗?为什么?因为∠1与∠α互余,∠2与∠α互余,所以∠1=90°-∠α,∠2=90°-∠α,所以∠1=∠2.(2)如果∠1与∠α互余,∠2与∠β互余,∠α=∠β,那么∠1与∠2相等吗?为什么?因为∠1与∠α互余,∠2与∠β互余,所以∠1=90°-∠α,∠2=90°-∠β,又因为∠α=∠β,所以∠1=∠2.2.(1)如果∠1与∠β互补,∠2与∠β互补,那么∠1与∠2相等吗?为什么?因为∠1与∠β互补,∠2与∠β互补,所以∠1=180°-∠β,∠2=180°-∠β,所以∠1=∠2.(2)如果∠1与∠α互补,∠2与∠β互补,∠α=∠β,那么∠1与∠2相等吗?为什么?因为∠1与∠α互补,∠2与∠β互补,所以∠1=180°-∠α,∠2=180°-∠β,又因为∠α=∠β,所以∠1=∠2.【预习自测】如图,直线CD过点O,且OC平分∠AOB,说出∠AOD与∠BOD的大小关系和理由?∠AOD=∠BOD.因为∠AOD、∠BOD分别是∠AOC、∠BOC的补角,且∠AOC=∠BOC,由等角的补角相等可得∠AOD=∠BOD.【归纳】同角(等角)的余角相等,同角(等角)的补角相等.探究三:请画出表示下列方向的射线.①南偏东25°;②北偏西60°;③西南方向(即南偏西45°).解:如图所示.【归纳】1.方位角通常是以南、北方向为角的始边,另一边为角的终边.2.东北方向,即北偏东45°;东南方向,即南偏东45°;西北方向,即北偏西45°;西南方向,即南偏西45°.【预习自测】如图,点A位于点O的(B)A.南偏东35°B.北偏西65°C.南偏东65°D.南偏西65°互动探究1:25°的余角和补角分别是多少度?一个角的补角比它的余角大多少度?解:65°,155°.设这个角的度数为x,则它的补角的度数为180-x,它的余角的度数为90-x,(180-x)-(90-x)=90,即这个角的补角比它的余角大90°.[变式训练]一个角的余角比它的补角的29还多1°,求这个角.(方法指导:在解决几何问题时,常设未知数列方程求解,即将几何问题转化为代数问题.)解:设这个角是x°,则90-x=29(180°-x)+1,解得x=63.答:这个角是63°.互动探究2:如图,A、O、D三点在同一条直线上,∠AOB=∠COD,问其中哪几对角互为补角?解:有∠AOB与∠BOD互补;∠COD与∠AOC互补;∠AOB与∠AOC互补;∠COD与∠BOD互补,四对互补的角.[变式训练]OE平分∠AOC,OD平分∠COB,则∠EOD=90°,∠2的余角为∠3、∠4,∠2的补角为∠AOD.互动探究3:如图,点O是直线AB上一点,OC平分∠AOB,∠DOE=90°,∠AOD和∠COE相等吗?为什么?解:∠AOD=∠COE.理由:因为OC平分∠AOB,所以∠AOC=∠BOC=90°.所以∠AOD+∠COD=90°.又因为∠COE+∠COD=90°,所以∠AOD=∠COE.[变式训练]除直角外,上题中还有哪些相等的角?请说明理由.解:∠COD=∠BOE.理由:因为∠COE+∠COD=90°,∠COE+∠BOE=90°,由同角的余角相等,所以∠COD=∠BOE.【方法归纳交流】要说明两个角相等,只要说明这两个角是同一个角的余角(或补角)即可.互动探究4:在一幅学校的地图上,有教学楼、食堂、图书馆三地,但被墨迹污染,图书馆的具体位置看不清,只知道图书馆在教学楼的东北方向,在食堂的南偏西60°方向,你能确定图书馆的位置吗?解:以教学楼为标准画北偏东45°的射线,以食堂为标准画南偏西60°的射线,两条射线的交点即为图书馆的位置,如右图.见《导学测评》P51
