初三部分难题解析试卷三旋转24.（2012•铁岭）已知△ABC是等边三角形．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．①如图a，当θ=20°时，△ABD与△ACE是否全等？______（填“是”或“否”），∠BOE=______度；②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB=AB′，AC=AC′，连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．（1）①根据旋转变换的性质以及等边三角形的性质可得AB=AD=AC=AE，∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD与△ACE全等；根据三角形的内角和等于180°求出∠ABD与∠AEC的度数，再根据旋转角为20°求出∠BAE的度数，然后利用四边形的内角和公式求解即可；②先利用“边角边”证明△BAD和△CAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠AEC，再利用四边形ABOE的内角和等于360°推出∠BOE+∠DAE=180°，再根据等边三角形的每一个角都是60°得到∠DAE=60°，从而得解；（2）先求出B′C′∥BC，证明△AB′C′是等边三角形，再根据旋转变换的性质可得AD=AE，∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠ACE，再利用三角形的内角和定理求出∠BOC的度数，然后分0°＜θ≤30°与30°＜θ＜180°两种情况求解．【解析】（1）① △ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到，△ABC是等边三角形，∴AB=AD=AC=AE，∠BAD=∠CAE=20°，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）； θ=20°，∴∠ABD=∠AEC=（180°-20°）=80°，又 ∠BAE=θ+∠BAC=20°+60°=80°，∴在四边形ABOE中，∠BOE=360°-80°-80°-80°=120°；②由已知得：△ABC和△ADE是全等的等边三角形，∴AB=AD=AC=AE， △ADE是由△ABC绕点A旋转θ得到的，∴∠BAD=∠CAE=θ，∴△BAD≌△CAE，∴∠ADB=∠AEC， ∠ADB+∠ABD+∠BAD=180°，∴∠AEC+∠ABO+∠BAD=180°， ∠ABO+∠AEC+∠BAE+∠BOE=360°， ∠BAE=∠BAD+∠DAE，∴∠DAE+∠BOE=180°，又 ∠DAE=60°，∴∠BOE=120°；（2）如图， AB=AB′，AC=AC′，∴==，∴B′C′∥BC， △ABC是等边三角形，∴△AB′C′是等边三角形，根据旋转变换的性质可得AD=AE，∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），=180°-（∠OBC+∠ACB+∠ACE），=180°-（∠OBC+∠ACB+∠ABD），=180°-（∠ACB+∠ABC），=180°-（60°+60°），=60°，当0°＜θ＜30°时，∠BOE=∠BOC=60°，当30°＜θ＜180°时，∠BOE=180°-∠BOC=180°-60°=120°．练习册P903.如图，已知AB为圆O的直径，AD切圆O于点A,弧EC=弧CB，则下列结论不一定正确的是（）解析： AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，∴BA⊥DA，故A正确； EC=CB，∴∠EAC=∠CAB， OA=OC，∴∠CAB=∠ACO，∴∠EAC=∠ACO，∴OC∥AE，故B正确； ∠COE是CE所对的圆心角，∠CAE是CE所对的圆周角，∴∠COE=2∠CAE，故C正确；只有当AE=CE时OD⊥AC，故本选项错误．故选D．P908．（4分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A．2B．8C．2D．2来源试卷：浙江省嘉兴市2013年中考数学试题解析版考点分析：圆答案解析：考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．3718684分析：先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的长，连接BE，由圆周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出CE的长．解： ⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=AB=4，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，在Rt△AOC中， AC=4，OC=r﹣2，∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5，∴AE=2r=10，连接BE， AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE中， AE=10，AB=8，∴BE===6，在Rt△BCE中， BE=6，BC=4，∴CE===2．故选D．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的...
