同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题(函数与极限)【圣才出品精品VIP免费

1/62十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题第一章函数与极限习题1-1映射与函数1．求下列函数的自然定义域：解：（1），故其定义域为．（2），故其定义域为（－∞，－1）∪（－1，1）∪（1，＋∞）．（3）x≠0且且|x|≤1，故其定义域为[－1，0）∪（0，1]．（4），故其定义域为（－2，2）．（5）x≥0，故其定义域为[0，＋∞）．（6），故其定义域为{x|x∈R且，k∈Z}．（7），故其定义域为[2，4]．（8）3－x≥0且x≠0，故其定义域为（－∞，0）∪（0，3]．（9），故其定义域为（－1，＋∞）．（10）x≠0，故其定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）．2．下列各题中，函数f（x）和g（x）是否相同？为什么？2/62十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书解：（1）函数f（x）和g（x）不同，因其定义域不同．（2）函数f（x）和g（x）不同，因其对应法则不同，（3）函数f（x）和g（x）相同，因其定义域、对应法则均相同．（4）函数f（x）和g（x）不同，因其定义域不同．3．设求，并作出函数的图形．解：的图形如图1-1所示．图1-14．试证下列函数在指定区间内的单调性：3/62十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书（1）；（2）y＝x＋lnx，（0，＋∞）．证：（1）设x1＜x2＜1．因为所以f（x2）＞f（x1），即f（x）在（－∞，1）内单调增加．（2）y＝f（x）＝x＋lnx，（0，＋∞）．设0＜x1＜x2．因为可得f（x2）＞f（x1），所以f（x）在（0，＋∞）内单调增加．5．设f（x）为定义在（－l，l）内的奇函数，若f（x）在（0，l）内单调增加，证明在（－l，0）内也单调增加．证：设－l＜x1＜x2＜0，则0＜－x2＜－x1＜l，因为f（x）是奇函数，所以．又因为f（x）在（0，1）内单调增加，所以，从而f（x2）＞f（x1），即f（x）在（－l，0）内也单调增加．6．设下面所考虑的函数都是定义在区间（－l，l）上的．证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数．证：（1）设f1（x），f2（x）均为偶函数，则f1（－x）＝f1（x），f2（－x）＝f2（x）．4/62十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书令F（x）＝f1（x）＋f2（x），于是F（－x）＝f1（－x）＋f2（－x）＝f1（x）＋f2（x）＝F（x）故F（x）为偶函数．设g1（x），g2（x）均为奇函数，则g1（－x）＝－g1（x），g2（－x）＝－g2（x）．令，于是G（－x）＝g1（－x）＋g2（－x）＝－g1（x）－g2（x）＝－G（x）故G（x）为奇函数．（2）设f1（x）,f2（x）均为偶函数，则f1（－x）＝f1（x），f2（－x）＝f2（x）．令，于是F（－x）＝f1（－x）·f2（－x）＝f1（x）f2（x）＝F（x）故F（x）为偶函数．设g1（x），g2（x）均为奇函数，则g1（－x）＝－g1（x），g2（－x）＝－g2（x）．令，于是故G（x）为偶函数．设f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，则f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x）．令，于是故H（x）为奇函数．7．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？5/62十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书解：（1）y＝f（x）＝x2（1－x2），因为f（－x）＝（－x）2[1－（－x）2]＝x2（1－x2）＝f（x）所以f（x）为偶函数．（2）y＝f（x）＝3x2－x3，因为f（－x）＝3（－x）2－（－x）3＝3x2＋x3f（－x）≠f（x），且f（－x）≠－f（x）所以f（x）既非偶函数又非奇函数．（3），因为所以f（x）为偶函数．（4）y＝f（x）＝x（x－1）（x＋1），因为f（－x）＝（－x）[（－x）－1][（－x）＋1]＝－x（x＋1）（x－1）＝－f（x），所以f（x）为奇函数．（5）y＝f（x）＝sinx－cosx＋1，因为f（－x）＝sin（－x）－cos（－x）＋1＝－sinx－cosx＋1f（－x）≠f（x）且f（－x）≠－f（x）所以f（x）既非偶函数又非奇函数．（6），因为，所以f（x）为偶函数．6/62十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书8．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：（1）y＝cos（x－2）；（2）y＝cos4x；（3）y＝1＋sin...