同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)笔记和课后习题(含考研真题精品VIP免费

1/120十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书第一章函数与极限1.1复习笔记一、映射与函数1．映射（1）映射概念设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作，其中y称为元素x（在映射f下）的像，并记作()fx，即，而元素x称为元素y（在映射f下）的一个原像；集合X称为映射f的定义域，记作，即；X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作fR或()fx，即．（2）映射三要素包括：①定义域；②值域()fX；③对应法则f．（3）映射的特点对每个x∈X，元素x的像y是唯一的；而对每个，元素y的原像不一定是唯一的．（4）满射设f是从集合X到集合Y的映射，若fRY=，即Y中任一元素y都是X中某元素的像，则称f为X到Y上的满射．（5）单射2/120十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书若对X中任意两个不同元素，它们的像，则称f为X到Y的单射．（6）一一映射（双射）f既是单射，又是满射，则称f为一一映射（或双射）．（7）逆映射与复合映射①逆映射设f是X到Y的单射，则由定义，对每个，有唯一的x∈X，适合()fxy=．则可定义一个从fR到X的新映射g，即，对每个，规定()gyx=，则x满足()fxy=．这个映射g称为f的逆映射，记作，其定义域，值域．注：只有单射才存在逆映射．②复合映射设有两个映射，其中，则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个x∈X映成f[g(x)]∈Z．显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作，即③复合映射的条件在两个映射组成的复合映射中，g的值域Rg必须包含在f的定义域内，即．2．函数（1）函数的概念3/120十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书①函数的定义设数集DR，则称映射f：D→R为定义在D上的函数，简记为，其中x称为自变量，y称为因变量．D称为定义域，记作，即．②函数值域函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域，记作fR或()fD，即③相同函数所具备的的特点a．定义域相同；b．对应法则也相同．④函数的表示方法表格法、图形法、解析法（公式法）．（2）函数的性质①有界性a．上界：若存在K1，对任意xIÎ有1()fxK£，则称函数()fx在Ｉ上有上界，而K1称为函数()fx在Ｉ上的一个上界．b．下界：若存在K2，对任意xIÎ有2()fxK³，则称函数()fx在Ｉ上有下界，而K2称为函数()fx在Ｉ上的一个下界．c．有界：若对任意xIÎ，存在M＞0，总有()fxM£，则称()fx在I上有界．②单调性a．单调递增当12xx<时，12()()fxfx<．b．单调递减当12xx<时，12()()fxfx>．4/120十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书③周期性a．定义()()fxTfx+=（T为正数）．b．最小正周期函数所有周期中最小的周期称为最小正周期．④奇偶性f(x)的定义域关于原点对称，则：a．偶函数f(－x)＝f(x)，图形关于y轴对称．b．奇函数f(－x)＝－f(x)，图形关于原点对称．（3）反函数与复合函数①反函数的定义设函数f：D→f(D)是单射，则它存在逆映射f－1：f(D)→D，称此映射f－1为函数f的反函数．②反函数的特点a．当f在D上是单调递增函数，f－1在f(D)上也是单调递增函数；b．当f在D上是单调递减函数，f－1在f(D)上也是单调递减函数；c．f的图像和f－1的图像关于直线y＝x对称，如图1-1-1所示．5/120十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书图1-1-1③复合函数a．复合函数定义设函数y＝f(u)的定义域为，函数u＝g(x)的定义域为且其值域则函数称为由函数u＝g(x)与函数y＝f(u)构成的复合函数，它的定义域为，变量u称为中间变量．注：函数g与函数f构成的复合函数，即按“先g后f”的次序复合的函数，记为，即．b．构成复合函数的条件g与f能构成复合函数的条件是：函数g的值域Rg必须包含于函数f的定义域Df，即.6/120十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书（4）函数的运算设函数f(x)，g(x)的定义域依次为，则可以定义这两个函数的下列运算（5）初等函数①5类基本初等函数②初等函数定义由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．二...