专题十切线的判定与性质的综合应用(针对四川中考与圆有关的证明、计算)1．(2017·眉山预测)如图，AB是⊙O的直径，CB是⊙O的弦，D是AC︵的中点，过点D作直线EF与BC垂直，交BC延长线于E点，且交BA延长线于F点．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若tanB＝73，BE＝6，求⊙O的半径．解：(1)连接OD， D是AC︵的中点，∴∠AOD＝∠B，∴OD∥BC， EF⊥BE，∴∠E＝90°，∴∠ODF＝90°， OD为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线(2)设⊙O的半径为r，则AO＝OB＝OD＝r， ∠AOD＝∠B，tanB＝73，∴DF＝7r3， EFBE＝73，BE＝6，∴EF＝27，又 EF2＋BE2＝BF2，∴BF＝8， OD∥BC，∴△ODF∽△BEF，∴ODBE＝OFBF， OF＝BF－OB＝8－r，∴r6＝8－r8解得r＝2472．(导学号14952496)(2016·东营)如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD＝∠ACB.(1)求证：AB是圆的切线；(2)若点E是BC上一点，已知BE＝4，tan∠AEB＝53，AB∶BC＝2∶3，求圆的直径．解：(1) BC是直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ACB＋∠DBC＝90°. ∠ABD＝∠ACB，∴∠ABD＋∠DBC＝90°，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC， BC为圆的直径，∴AB是圆的切线(2)在Rt△AEB中，tan∠AEB＝53，ABBE＝53，即AB＝53BE＝203，在Rt△ABC中，ABBC＝23，∴BC＝32AB＝10，∴圆的直径为103．(导学号14952497)(2017·内江预测)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD＝BC，延长AD到E，且有∠EBD＝∠CAB.(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)若BC＝3，AC＝5，求圆的直径AD及切线BE的长．解：(1)连接OB， BD＝BC，∴∠CAB＝∠BAD， ∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝∠EBD. AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，OA＝OB，∴∠BAD＝∠ABO，∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°， 点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线(2)设圆的半径为R，连接CD交OB于点F， AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°， BC＝BD，∴OB⊥CD，∴OB∥AC， OA＝OD，∴OF＝12AC＝52. 四边形ACBD是圆内接四边形．∴∠BDE＝∠ACB， ∠DBE＝∠CAB，∴△DBE∽△CAB，∴DBCA＝DECB，∴35＝DE3∴DE＝35， ∠OBE＝∠OFD＝90°，∴DF∥BE，∴OFOB＝ODOE，∴52R＝RR＋35， R＞0，∴R＝3，∴AB＝AD2－BD2＝33， ACAB＝BDBE，∴BE＝31154．(导学号14952498)(2016·宜宾)如图1，在△APE中，∠PAE＝90°，PO是△APE的角平分线，以O为圆心，OA为半径作圆交AE于点G.(1)求证：直线PE是⊙O的切线；(2)在图2中，设PE与⊙O相切于点H，连接AH交OP于点F，点D是⊙O的劣弧AH︵上一点，过点D作⊙O的切线，交PA于点B，交PE于点C，已知△PBC的周长为4，tan∠EAH＝12，求EH的长．解：(1)如图1，作OH⊥PE，∴∠OHP＝90°， ∠PAE＝90，∴∠OHP＝∠OAP， PO是∠APE的角平分线，∴∠APO＝∠EPO，在△PAO和△PHO中，∠OHP＝∠OAP，∠OPH＝∠OPA，OP＝OP，∴△PAO≌△PHO，∴OH＝OA， OA是⊙O的半径，∴OH是⊙O的半径， OH⊥PE，∴直线PE是⊙O的切线(2)连接OH，GH， OA为半径，∠PAE＝90°，∴PA切⊙O于点A.又 PH切⊙O于点H，∴PA＝PH，同理BA＝BD，CD＝CH，∴PA＋PH＝PB＋BA＋PC＋CH＝PB＋DB＋PC＋CD＝4，∴PA＝PH＝2. OA＝OH，∴∠OAH＝∠OHA. AG为⊙O的直径，∴∠AHG＝90°＝∠OHG＋∠OHA＝∠OHG＋∠OAH. PE切⊙O于是点H，∴∠OHE＝90°＝∠EHG＋∠OHG，∴∠EHG＝∠OAH. ∠E＝∠E，∴△EGH∽△EHA，∴GHAH＝EGEH＝EHEA. tan∠EAH＝12＝GHAH，∴EHAE＝12.设EH＝x，则AE＝2x，在Rt△AEP中，AE2＋AP2＝PE2，即(2x)2＋22＝(2＋x)2，解取正值得x＝43，∴EH＝435．(导学号14952499)(2017·广安预测)如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB＝∠DCO＝90°，O为AB的中点．(1)求证：∠B＝∠ACD；(2)已知点E在AB上，且BC2＝AB·BE.①若tan∠ACD＝34，BC＝10，求CE的长；②试判定CD与以A为圆心，AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．解：(1) ∠ACB＝∠DCO＝90°，∴∠ACB－∠ACO＝∠DCO－∠ACO，即∠ACD＝∠OCB.又 点O是AB的中点，∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠ACD＝∠B(2)① BC2＝AB·BE，∴BCAB＝BEBC. ∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBE，∴∠ACB＝∠CEB＝90°， ∠ACD＝∠B，∴tan∠ACD＝tan∠B＝34，设BE＝4x，则CE＝3x，由勾...
