（鲁京津琼专用）高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.7 立体几何中的向量方法（二）教案（含解析）-人教版高三全册数学教案VIP免费

§8.7立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离最新考纲1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.2.体会向量方法在研究几何问题中的作用．1．两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θa与b的夹角β范围[0，π]求法cosθ＝cosβ＝2.直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝|cosβ|＝.3．求二面角的大小(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．概念方法微思考1．利用空间向量如何求线段长度？提示利用|AB|2＝AB·AB可以求空间中有向线段的长度．2．如何求空间点面之间的距离？提示点面距离的求法：已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离为|BO|＝|AB||cos〈AB，n〉|.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(×)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(×)(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(×)(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．(√)(5)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.(×)题组二教材改编2．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°答案C解析cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.3．如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为______．答案解析如图，以A为原点，以AB，AE(AE⊥AB)，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴(如图)建立空间直角坐标系，设D为A1B1的中点，则A(0，0，0)，C1(1，，2)，D(1，0，2)，∴AC1＝(1，，2)，AD＝(1，0，2)．∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角，cos∠C1AD＝＝＝，又 ∠C1AD∈，∴∠C1AD＝.题组三易错自纠4．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案C解析以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝CA＝CC1＝2，则可得A(2，0，0)，B(0，2，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，∴BM＝(1，－1，2)，AN＝(－1，0，2)．∴cos〈BM，AN〉＝＝＝＝.5．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为________．答案30°解析设l与α所成角为θ， cos〈m，n〉＝－，∴sinθ＝|cos〈m，n〉|＝， 0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.题型一求异面直线所成的角例1如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．(1)证明如图所示，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.在Rt△FDG中，可得FG＝.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝，从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，AC，FG⊂平面AFC，所以EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)解如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC所在直线为x轴、y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz，由(1)可得A(0，－，0)，E(1，0，)，F，C(0，，0)，所以AE＝(1，，)，CF＝.故cos〈AE，CF〉＝＝－.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.思维升华用向量法求异面直线所成角的一...