高三数学——数列(题目绝对经典）VIP专享VIP免费

【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质1.研究通项的性质例题1.已知数列}{na满足1111,3(2)nnnaaan.（1）求32,aa；（2）证明：312nna.解：（1）21231,314,3413aaa.（2）证明：由已知113nnnaa，故)()()(12211aaaaaaannnnn1213133312nnna，所以证得312nna.例题2.数列na的前n项和记为11,1,21(1)nnnSaaSn（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）等差数列nb的各项为正，其前n项和为nT，且315T，又112233,,ababab成等比数列，求nT.解：（Ⅰ）由121nnaS可得121(2)nnaSn，两式相减得：112,3(2)nnnnnaaaaan，又21213aS∴213aa故na是首项为1，公比为3的等比数列∴13nna（Ⅱ）设nb的公比为d，由315T得，可得12315bbb，可得25b故可设135,5bdbd，又1231,3,9aaa，由题意可得2(51)(59)(53)dd，解得122,10dd 等差数列nb的各项为正，∴0d∴2d∴2(1)3222nnnTnnn例题3.已知数列na的前三项与数列nb的前三项对应相同，且212322...aaa128nnan对任意的*Nn都成立，数列nnbb1是等差数列.⑴求数列na与nb的通项公式；⑵是否存在Nk，使得(0,1)kkba，请说明理由.点拨：（1）2112322...28nnaaaan左边相当于是数列12nna前n项和的形式，可以联想到已知nS求na的方法，当2n时，1nnnSSa.（2）把kkab看作一个函数，利用函数的思想方法来研究kkab的取值情况.解：（1）已知212322aaa…12nna8n(n*N）①用心爱心专心2n时，212322aaa…2128(1)nnan(n*N）②①－②得，128nna，求得42nna，在①中令1n，可得得41182a，所以42nna(nN*）.由题意18b，24b，32b，所以214bb，322bb，∴数列}{1nnbb的公差为2)4(2，∴1nnbb2)1(4n26n，121321()()()nnnbbbbbbbb(4)(2)(28)n2714nn(n*N）.（2）kkba2714kk42k，当4k时，277()()24fkk42k单调递增，且(4)1f，所以4k时，2()714fkkk421k，又(1)(2)(3)0fff，所以，不存在k*N，使得(0,1)kkba.例题4.设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通项an，bn新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：依题意得：2bn+1=an+1+an+2①a2n+1=bnbn+1② an、bn为正数，由②得21211,nnnnnnbbabba，代入①并同除以1nb得：212nnnbbb，∴}{nb为等差数列新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆 b1=2，a2=3，29,22122bbba则，∴2)1(),1(22)229)(1(22nbnnbnn，∴当n≥2时，2)1(1nnbbannn，又a1=1，当n=1时成立，∴2)1(nnan新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆2.研究前n项和的性质例题5.已知等比数列}{na的前n项和为2nnSab，且13a.（1）求a、b的值及数列}{na的通项公式；（2）设nnnba，求数列}{nb的前n项和nT.用心爱心专心解：（1）2n时，aSSannnn112.而}{na为等比数列，得aaa1112，又31a，得3a，从而123nna.又123,3aabb.（2）132nnnnnba，21123(1)3222nnnT231111231(2322222nnnnnT），得2111111(1)232222nnnnT，111(1)2412[](1)13232212nnnnnnnT.例题6.数列{}na是首项为1000...