两角和与差的三角函数1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式．4．熟悉公式的正用、逆用、变形应用．知识梳理1．两角和与差的余弦C(α±β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.2．两角和与差的正弦S(α±β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.3．两角和与差的正切T(α±β)tan(α＋β)＝.tan(α－β)＝.1．辅助角公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝.2．T(α±β)的常用变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)．tanα－tanβ＝tan(α－β)·(1＋tanαtanβ)．热身练习1．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ的值为(A)A.B.C.D.因为cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，①cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，②①×3－②得2cosαcosβ＝4sinαsinβ，即tanαtanβ＝.2．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝(D)A．－B.C．－D.原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝.3．已知α∈(，π)，sinα＝，则tan(α＋)等于(A)A.B．7C．－D．－7因为α∈(，π)，sinα＝，所以cosα＝－，所以tanα＝－.所以tan(α＋)＝＝＝.4.的值为(A)A.B.C．1D.＝＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝.5．sin15°＋sin75°的值是.sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝(sin15°＋cos15°)＝(sin15°cos45°＋cos15°sin45°)＝sin60°＝×＝.两角和与差公式的正用已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<.(1)求tan(α＋)的值；(2)求cosβ的值．(1)由cosα＝，0<α<，得sinα＝＝＝，所以tanα＝＝×7＝4，于是tan(α＋)＝＝＝－.(2)由0<β<α<，得0<α－β<，又因为cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝＝＝，所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.运用两角和与差的公式求值时，要注意：(1)从所求和已知所含的函数进行分析，明确变形目标和方向．(2)从角度进行分析，寻找所求角与已知角的联系，将“所求角”用“已知角”表示，如α＝(α＋β)－β，α＋＝(α＋β)－(β－)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．(3)利用同角关系求三角函数值时，要注意根据角的象限确定函数值的符号．1．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan(α－)＝，则tanα＝.(方法一：利用正切的差角公式展开求解)tan(α－)＝tan(α－)＝＝，解得tanα＝.(方法二：利用角的配凑求解)因为α＝(α－)＋.所以tanα＝＝＝.(方法三：利用换元法进行求解)设θ＝α－，则α＝θ＋，且tanθ＝，所以tanα＝tan(θ＋)＝＝＝.两角和与差公式的逆用与变用(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝2cosx＋sinx的最大值为________．(2)tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°的值为__________．(1)f(x)＝2cosx＋sinx＝(cosx＋sinx)，设sinα＝，cosα＝，则f(x)＝sin(x＋α)，所以函数f(x)＝2cosx＋sinx的最大值为.(2)原式＝tan(20°＋40°)(1－tan20°tan40°)＋tan20°·tan40°＝(1－tan20°tan40°)＋tan20°tan40°＝－tan20°tan40°＋tan20°tan40°＝.(1)(2)(1)辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)实质是两角和的正弦公式的逆用，这一公式应用广泛，应熟练掌握．(2)两角和与差的正切公式tan(α＋β)＝联系了tanα＋tanβ与tanα·tanβ，涉及tanα＋tanβ与tanα·tanβ的有关问题，常常要对正切公式进行如下变用：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanα·tanβ)．2．(经典真题)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝－.f(x)＝sinx－2cosx＝(sinx－cosx)，设＝cosα，＝sinα，则f(x)＝(sinxcosα－cosxsinα)＝sin(x－α)，(方法一)因为x∈R，所以x－α∈R，所以f(x)max＝.又因为x＝θ时，f(x)取得最大值，所以f(θ)＝sinθ－2cosθ＝，又sin2θ＋cos2θ＝1，所以即cosθ＝－.(方法二)因为x＝θ时，f(x)取到最大值，所以θ－α＝2kπ＋(k∈Z)，所以θ＝α＋2kπ＋(k∈Z)，所以cosθ＝cos(α＋)＝－sinα＝－.两角和与差公式的整体运用已知sinα＋sinβ＝，cos...
