第1讲空间几何体的表面积、体积及有关量的计算[做小题——激活思维]1．已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A．1cmB．2cmC．3cmD．cmB[S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm)．]2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.＋2πB.C.D.B[由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋×π×12×1＝.]3．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．π[设正方体的棱长为a，则6a2＝18，∴a＝.设球的半径为R，则由题意知2R＝＝3，∴R＝.故球的体积V＝πR3＝π×＝π.]4.如图，直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥DA1BC的体积是________．[V＝V＝V＝×S×＝.]5．[一题多解](2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有____________个面，其棱长为____________．图1图226－1[先求面数有如下两种方法．法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26(个)面．法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2.(欧拉公式)由题图知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24.故由V＋F－E＝2，得面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱长．作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为半正多面体的棱长．连接AF，过H，G分别作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为M，N，则AM＝MH＝NG＝NF＝x.又AM＋MN＋NF＝1，∴x＋x＋x＝1.∴x＝－1，即半正多面体的棱长为－1.][扣要点——查缺补漏]1．空间几何体分为多面体和旋转体研究其特性常采用化空间为平面的方法，如截面图、轴截面等，如T5.2．旋转体的表面积和体积公式(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆锥侧＝πrl，S圆台侧＝π(r1＋r2)l，S球＝4πR2，V柱＝sh，V锥＝sh，V球＝πR3，如T1.(2)球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离d与球的半径R及截面圆半径r之间的关系是r＝.3．空间几何体的体积与表面积求法(1)割补法：求不规则几何体的体积或表面积时，通过割补，转化成规则几何体求解．如T2.(2)等积变换：涉及三棱锥的体积，注意灵活选择底面和对应的高．如T4.4．多面体与球(1)当球内切于正方体时，球的直径等于正方体的棱长，当球外接于长方体时，长方体的体对角线长等于球的直径；当球与正方体各棱都相切时，球的直径等于正方体底面的对角线长．如T3.(2)若正四面体的棱长为a，则正四面体的外接球半径为a，内切球半径为a.空间几何体的三视图、展开图、截面图(5年3考)[高考解读]高考对该点的考查先前以三视图的识别为主，近几年有向侧面展开图、截面图形的性质等方向考查的趋势，总体思路是多考查一点空间想象能力.1．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．2B．2C．3D．2切入点：先由三视图还原直观图，再把直观图展成平面图．B[由三视图可知，该几何体为如图1所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图2所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为＝＝2.故选B.图1图2]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.B.C.D.切入点：将每条棱所在直线与平面α所成的角相等转化为共顶点的三条棱所在直线与平面α所成角相等．A[记该正方体为ABCDA′...
