第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积1.(2018·全国Ⅲ卷,文3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(A)解析:由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示,由直观图可知其俯视图应选A.2.(2018·全国Ⅰ卷,文9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(B)(A)2(B)2(C)3(D)2解析:先画出圆柱的直观图,根据题图的三视图可知点M,N的位置如图①所示.圆柱的侧面展开图及M,N的位置(N位于OP的四等分点)如图②所示,连接MN,则图中MN即为M到N的最短路径.ON=×16=4,OM=2,所以MN===2.故选B.3.(2017·全国Ⅲ卷,文9)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(B)(A)π(B)(C)(D)解析:设圆柱底面圆半径为r,高为h,外接球半径为R,则R=1,h=1,所以r==,所以圆柱体积V=πr2h=,故选B.4.(2017·全国Ⅰ卷,文16)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥SABC的体积为9,则球O的表面积为.解析:O为球心,△SBC,△SAC为等腰直角三角形,∠SAC=∠SBC=90°.AO⊥SC.BO⊥SC.所以∠AOB为二面角ASCB的平面角,又因为平面SCA⊥平面SCB,所以∠AOB=90°,且SC⊥平面AOB,设球的半径为r,S△AOB=r2,=+=2=2×S△AOB×SO=2×××r2×r=,所以=9,所以r=3.所以球的表面积为S球=4πr2=36π.答案:36π1.考查角度(1)几何体三视图的识别;(2)由三视图还原直观图求长度、面积、体积;(3)与球有关的“接”“切”问题.2.题型及难易度选择题、填空题,中低档.(对应学生用书第30~31页)空间几何体的三视图考向1几何体三视图的识别【例1】(2018·济南市模拟)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,P为BD1的中点,则△PAC在该正方体各个面上的正投影可能是()(A)①②(B)①④(C)②③(D)②④解析:由题可知平面PAC⊥平面ABCD,且点P在各个面内的正投影均为正方形的中心.根据对称性,只需考虑△PAC在底面、后面、右面的正投影即可.显然△PAC在底面的正投影为正方形的对角线,在后面与右面的正投影相同,均为等腰直角三角形,故选B.考向2由几何体的三视图还原几何体【例2】(2018·太原市模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的各条棱中,最长棱的长度为()(A)(B)(C)2(D)1解析:由三视图可知,几何体的直观图如图(1)所示,平面AED⊥平面BCDE,四棱锥ABCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形.如图(2),过点A作平面BCDE的垂线,垂足为点F,连接EF,FC,显然侧棱AC最长.CF===,AC===.故最长棱的长度为.故选A.(1)由几何体的直观图画三视图时应注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,看到的部分用实线表示,看不到的部分用虚线表示.(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图时,应先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然若是选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合.(3)由几何体的三视图还原几何体的形状时,可先根据俯视图确定几何体的底面,再根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,最后确定几何体的直观图形状.热点训练1:(2018·惠州市调研)如图,在底面边长为1,高为2的正四棱柱ABCDA1B1C1D1(底面ABCD是正方形,侧棱AA1⊥底面ABCD)中,点P是正方形A1B1C1D1内一点,则三棱锥PBCD的正视图与俯视图的面积之和的最小值为()(A)(B)1(C)2(D)解析:由题易知,其正视图面积为×1×2=1.当顶点P在底面ABCD上的投影在△BCD内部或其边上时,俯视图的面积最小,最小值为S△BCD=×1×1=,所以三棱锥PBCD的正视图与俯视图的面积之和的最小值为1+=.故选A.热点训练2:(2018·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()(A)1(B)2(C)3(D)4解析:在棱长为2的正方体中作出该几何体的直观图,记为四棱锥PABCD,如图,由图可知在此四棱锥的侧面中,直角三角形有△PAD,△PDC,△PAB,共3...
