第八节正弦定理和余弦定理的应用1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a))．2．方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图(b))．3．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．[小题体验]1．如图，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，在A，B两点分别测得树顶P处的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为10m，则树的高度h为()A．(5＋5)mB．(30＋15)mC．(15＋30)mD．(15＋3)m解析：选A在△PAB中，由正弦定理，得＝，因为sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝，所以PB＝5(＋)(m)，所以该树的高度h＝PBsin45°＝(5＋5)m.2．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为________m.答案：50易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向线与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．[小题纠偏]1．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________.答案：130°2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的________．解析：如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.答案：北偏西15°[典例引领]如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300(m)．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝300×＝100(m)．答案：100[由题悟法]求解高度问题应注意的3个问题(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．[即时应用]为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝40m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE＝1m，则发射塔高AB为________m.解析：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，则EF＝BC，BF＝CE＝1，∠AEF＝30°.在△BCD中，由正弦定理得，BC＝＝＝20，所以EF＝20.在Rt△AFE中，AF＝EF·tan∠AEF＝20×＝20，所以AB＝AF＋BF＝(20＋1)m.答案：(20＋1)[锁定考向]研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达．[题点全练]角度一：两点都不可到达1．(2017·宁波期中)如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定两点A，B，测出AB间的距离为20m，∠DAB＝75°，∠CAB＝30°，AB⊥BC，∠ABD＝60°.则C，D两点之间的距离为________m.解析：在Rt△ABC中，BC＝ABtan∠CAB＝20×tan30°＝20.在△ABD中，∠ADB＝180°－∠DAB－∠ABD＝45°.由正弦定理可得：＝，∴BD＝＝＝10(3＋)(m)．在△BCD中，由余弦定理可得：DC2＝202＋100(3＋)2－2×20×10(3＋)×cos30°＝1000.解得DC＝10(m)．答案：10角度二：两点不相通的距离2．如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝.若测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，则A，B两点的距离为________m....
