第1讲数系的扩充与复数的引入一、知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．(2)复数的分类复数z＝a＋bi(a，b∈R)(3)复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi―→复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)―→平面向量OZ.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．常用结论(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.(3)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.(4)|z|2＝|z|2＝z·z.二、习题改编1．(选修12P60例4改编)计算＋2i＝．答案：i2．(选修12P55A组T5改编)复数z＝(x＋1)＋(x－2)i(x∈R)在复平面内所对应的点在第四象限，则x的取值范围为．答案：(－1，2)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a∈C，则a2≥0.()(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．()(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(4)方程x2＋x＋1＝0没有解．()(5)由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比较大小，因而在复数范围内两个数也能比较大小．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×二、易错纠偏(1)复数相等概念把握不牢固致误；(2)对复数的几何意义理解有误；(3)复数的分类把握不准导致出错．1．若a为实数，且＝3＋i，则a＝()A．－4B．－3C．3D．4解析：选D.由＝3＋i，得2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即ai＝4i，因为a为实数，所以a＝4.故选D.2．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i解析：选C.因为A(6，5)，B(－2，3)，所以线段AB的中点C(2，4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.故选C.3．i为虚数单位，若复数(1＋mi)(i＋2)是纯虚数，则实数m等于．解析：因为(1＋mi)(i＋2)＝2－m＋(1＋2m)i是纯虚数，所以2－m＝0，且1＋2m≠0，解得m＝2.答案：2复数的有关概念(师生共研)(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)设z＝，则|z|＝()A．2B.C.D．1(2)(2020·郑州市第一次质量预测)若复数(a∈R)的实部和虚部相等，则实数a的值为()A．1B．－1C.D．－【解析】(1)法一：z＝＝＝，故|z|＝||＝＝.故选C.法二：|z|＝||＝＝＝.故选C.(2)因为＝＝＋i，所以由题意，得＝，解得a＝，故选C.【答案】(1)C(2)C解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．1．(2020·安徽省考试试题)z是z＝的共轭复数，则z的虚部为()A．－B.C．－D．解析：选C.z＝＝＝＝－＋i，则z＝－－i，所以z的虚部为－，故选C.2．(2020·山西八校第一次联考)已知a，b∈R，i为虚数单位，若3－4i3＝，则a＋b等于()A．－9B．5C．13D．9解析：选A.由3－4i3＝得，3＋4i＝，即(a＋i)(3＋4i)＝2－bi，(3a－4)＋(4a＋3)i＝2－bi，则解得故a＋b＝－9.故选A.复数的几何意义(师生共研)(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内所对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1(2)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i(i为虚数单位)，则z1z2＝()A．－5B．5C．－4＋iD．－4－i【解析】(1)由已知条件，可得z＝x＋yi.因为|z－i|＝1，所以|x＋yi－i|＝1，所以x2＋(y...
