§3.1导数的概念及运算最新考纲考情考向分析1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.1．平均变化率一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商＝，称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率．2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim＝lim为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝lim＝lim.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．函数f(x)的导函数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)或y′(或y′x)．4．基本初等函数的导数公式表y＝f(x)y′＝f′(x)y＝cy′＝0y＝xn(n∈N＋)y′＝nxn－1，n为正整数y＝xμ(x>0，μ≠0且μ∈Q)y′＝μxμ－1，μ为有理1数y＝ax(a>0，a≠1)y′＝axlnay＝logax(a>0，a≠1，x>0)y′＝y＝sinxy′＝cosxy＝cosxy′＝－sinx5.导数的四则运算法则设f(x)，g(x)是可导的，则(1)(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．6．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．概念方法微思考1．根据f′(x)的几何意义思考一下，|f′(x)|增大，曲线f(x)的形状有何变化？提示|f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越来越陡峭．2．直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？提示不一定．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(×)(2)f′(x0)＝[f(x0)]′.(×)(3)(2x)′＝x·2x－1.(×)(4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.(×)题组二教材改编2．若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝________.答案2e解析 f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.3．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为____________．答案2x－y＋1＝0解析 y′＝，∴y′|x＝－1＝2.∴所求切线方程为2x－y＋1＝0.题组三易错自纠24．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()答案D解析由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.5．设f(x)＝ln(3－2x)＋cos2x，则f′(0)＝________.答案－解析因为f′(x)＝－－2sin2x，所以f′(0)＝－.6．(2017·天津)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．答案1解析 f′(x)＝a－，∴f′(1)＝a－1.又 f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.题型一导数的计算1．已知f(x)＝sin，则f′(x)＝________.答案－cosx解析因为y＝sin＝－sinx，3所以y′＝′＝－(sinx)′＝－cosx.2．已知f(x)＝ln，则f′(x)＝________.答案解析y′＝′＝′＝·＝.3．f(x)＝x(2019＋lnx)，若f′(x0)＝2020，则x0＝______.答案1解析f′(x)＝2019＋lnx＋x·＝2020＋lnx，由f′(x0)＝2020，得2020＋ln...
