第一节一元二次不等式及其解法“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}R一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅[小题体验]1．不等式3x2－x－4≤0的解集是________．解析：由3x2－x－4≤0，得(3x－4)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤.答案：2．(2018·南京、盐城二模)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥－1的解集是________．解析：不等式f(x)≥－1⇔或解得－4≤x≤0或0＜x≤2，故不等式f(x)≥－1的解集是[－4,2]．答案：[－4,2]3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是________．解析：由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，所以解得不等式x2－bx－a＜0，即为x2－5x＋6＜0，解得2＜x＜3.答案：{x|2＜x＜3}1．对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．2．当Δ＜0时，ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．[小题纠偏]1．已知不等式x2－2x＋k2－3＞0的解集为R，则实数k的取值范围是________________．解析：由Δ＝4－4(k2－3)＜0，解得k＞2或k＜－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)2．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4＜0，所以a＝2时成立，当a－2≠0，即a≠2时，由题意得即解得－2＜a＜2.综上所述，－2＜a≤2.答案：(－2,2][题组练透]1．(2018·南通中学检测)不等式－3x2＋6x＞2的解集为________．解析：将不等式－3x2＋6x＞2转化为3x2－6x＋2＜0，所以不等式的解集是答案：2．(2019·东湖中学检测)已知函数f(x)＝则不等式f(f(x))≤3的解集为________．解析：当x≥0时，f(f(x))＝f(－x2)＝(－x2)2－2x2≤3，即(x2－3)(x2＋1)≤0，解得0≤x≤；当－2＜x＜0时，f(f(x))＝f(x2＋2x)＝(x2＋2x)2＋2(x2＋2x)≤3，即(x2＋2x－1)(x2＋2x＋3)≤0，即－2＜x＜0；当x≤－2时，f(f(x))＝f(x2＋2x)＝－(x2＋2x)2≤3，解得x≤－2.综上，不等式的解集为{x|x≤}．答案：{x|x≤}3．解下列不等式：(1)(易错题)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4.解：(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤，所以原不等式的解集为.(2)原不等式等价于⇔⇔⇔借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为.[谨记通法]解一元二次不等式的4个步骤[典例引领](2019·天一中学检测)解关于x的不等式：ax2＋(a－2)x－2≥0.解：①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.②当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1.③当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；当＜－1，即a＞－2时，解得≤x≤－1.综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a＞0时，不等式的解集为；当－2＜a＜0时，不等式的解集为；当a＝－2时，不等式的解集为{x|x＝－1}；当a＜－2时，不等式的解集为.[由题悟法]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[提醒]当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．[即时应用]1．(2019·苏州实验中学检测)已知x2＋px＋q＜0的解集为，则不等式qx2＋px＋1＞0的解集为________．解析： x2＋px＋q＜0的解集为，∴－，是方程x2＋px＋q＝0的两实数根，则解得∴不等式qx2＋px＋1＞0可化为－x2＋x＋1＞0，即x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3，∴不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．答案：{x|－2＜x＜3}2．求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．解：原不等式可化为12x2－ax－a2＞0，即(4x＋a)(3x－...
