第六讲导数的应用(二)[真题自检]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)ex
(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．解析：(1)f′(x)＝(1－2x－x2)ex
令f′(x)＝0得x＝－1－或x＝－1＋
当x∈(－∞，－1－)时，f′(x)0；当x∈(－1＋，＋∞)时，f′(x)(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1
综上，a的取值范围是[1，＋∞)．2．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝4时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f(1)＝0，f′(x)＝lnx＋－3，f′(1)＝－2
故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0
(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于lnx－＞0
设g(x)＝lnx－，则g′(x)＝－＝，g(1)＝0
①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)单调递增，因此g(x)＞0；②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－，x2＝a－1＋
由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)单调递减，因此g(x)＜0
综上，a的取值范围是(－∞，2]．导数与方程问题[典例](2017·临沂模拟)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2
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(1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1,2)上有零点；(2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由．
