第五讲空间角一、考情分析空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想．本讲主要是培养考生的观察思考能力、空间想象能力、分析能力，培养考生的严谨的逻辑推理能力以及转化与化归的数学思想的应用．二、知识归纳及例析（一）空间角的求解思路：作――证――求．（二）异面直线所成的角（1）概念：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上．（2）实质：；；．（化空间角为平面角）（3）范围：．（4）作法：选点----平移----定角．（5）解决思路：①化归法（平移法）：把两异面直线中的一条平移到过另一条直线上的某一点，或把两异面直线都平移经过空间同一点，以构造出易于求解的平面角；②向量法：，可分为自由向量法、坐标向量法．例1：是正三角形，，求异面直线所成的角．解析：法1（化归法）：取的中点，则：．法2（化归法）：过分别作交于点（或过分别作交于点），则：．法3（自由向量法）：，．1法4（坐标向量法）：建系如图，．（三）直线与平面所成的角（1）概念①斜线：一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线；②射影：过斜线上斜足外一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影；③直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角；若直线垂直于平面，所成的角是直角；若直线平行于平面或在平面内，所成角为0角．（2）实质：．（化空间角为平面角）（3）范围：．（4）作法：选点----作射----定角．（5）解决思路：①化归法；②向量法：（分别为直线的方向向量、平面的法向量）．例2：已知平面的斜线与内直线所成的角均为，的夹角为，求与平面所成的角．解析：在平面的斜线上任取一点，过点作直线的垂线，作平面，垂足为，连接，则，设与所成的角为，则： 平面的斜线与内直线所成的角均为，∴点必在的角平分线上；（如何证明？）∴； 直角中，；直角中，；直角中，；∴，故与所成的角为．引申：平面的斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角（最小角定理）．（四）平面与平面所成的角（1）概念①二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫2做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角．（2）实质：．（化空间角为平面角）（3）范围：一般地，．（4）作法：①定义法（垂面法）：；③垂线法：．②三垂线法：；（5）解决思路：①化归法：可分为垂面法、垂线法、三垂线法．②向量法：法1：法一：设，在内，在内，其方向如图，则二面角的平面角。法2：（分别为平面的法向量）．③射影面积法：也可利用射影面积公式来计算．④公式法：；例3：正四棱锥的底边为2，高为1，求相对两侧面所成的二面角的大小．解析：（垂面法）正四棱锥的在相对两侧面的公共交线上，则：．过作棱的垂面，分别交于，则：，∴，同理，，3即为相对两侧面所成的二面角的平面角，易求．例4：二面角内一点在二面角的棱上的射影为，点在平面的射影分别为．（1）求二面角的大小；（2）若点到平面的距离分别为，求的长度．解析：（1）（垂面法）点在二面角的棱上的射影为，点在平面的射影分别为，据三垂线定理知：，同理，，∴四点在同一平面内； ，∴，故二面角的大小为．（2） 四边形中，，∴四点共圆， ，∴是四边形外接圆的直径，故（正弦定理）．思考：如果二面角的平面角是锐角，点到的距离分别为，求二面角的大小．解析：点可能在二面角内部，也可能在外部，应区别处理． ，∴， ，∴面，同理，；∴共面，则是二面角的平面角．在中，，∴．在中，，∴．故或，即二面角的大小为或奎屯王新敞新疆例5：正方形的边长为2，都垂直于平面，，求平面4与平面的成角．解析：法1（垂线法）：延长、交于点，则是...
