第3讲圆锥曲线的综合问题1.(2018·全国Ⅲ卷,文20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点.线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=0.证明:2||=||+||.证明:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.两式相减,并由=k得+·k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.由题设得0b>0)的离心率为,短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,O为坐标原点,若kOM·kON=,求证:点(m,k)在定圆上.(1)解:由已知得e==,2b=2,又a2-b2=c2,所以b=1,a=2,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),联立直线与椭圆方程,得消去y,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,依题意,Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,化简得m2<4k2+1,①由根与系数的关系知x1+x2=-,x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,若kOM·kON=,则=,即4y1y2=5x1x2,所以4k2x1x2+4km(x1+x2)+4m2=5x1x2,所以(4k2-5)·+4km·-+4m2=0,即(4k2-5)(m2-1)-8k2m2+m2(4k2+1)=0,化简得m2+k2=,②由①②得0≤m2<,b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.解:(1)经过点(0,b)和(c,0)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点到直线的距离为d==c,即为a=2b,所以e===.(2)由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,①由题意可得圆心M(-2,1)是线段AB的中点,则|AB|=,易知AB与x轴不垂直,记其方程为y=k(x+2)+1,代入①可得(1+4k2)x2+8k(1+2k)x+4(1+2k)2-4b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,由M为AB的中点,可得x1+x2=-4,得=-4,解得k=,从而x1x2=8-2b2,于是|AB|=·|x1-x2|=·==,解得b2=3,则有椭圆E的方程为+=1.定点与定值问题考向1定点问题【例2】(2018·山东省六校联考)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C与y轴相切,且过点M(1,),N(1,-).(1)求圆C的方程;(2)已知直线l与圆C交于A,B...
