反函数二．教学目标：理解反函数的意义，会求一些函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用)(xfy与)(1xfy的性质解决一些问题．三．教学重点：反函数的求法，反函数与原函数的关系．四．教学过程：（一）主要知识：1．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；2．反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若()yfx与1()yfx互为反函数，函数()yfx的定义域为A、值域为B，则1[()]()ffxxxB，1[()]()ffxxxA；3．互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于yx对称．（二）主要方法：1．求反函数的一般方法：（1）由()yfx解出1()xfy，（2）将1()xfy中的,xy互换位置，得1()yfx，（3）求()yfx的值域得1()yfx的定义域．（三）例题分析：例1．求下列函数的反函数：（1）2()(1)fxxxx；（2）221(01)(){(10)xxfxxx；（3）32331yxxx．解：（1）由2(1)yxxx得2211()(1)24yxx，∴211(0)24xyy，∴所求函数的反函数为211(0)24yxx．（2）当01x时，得1(10)xyy，当10x时，得(01)xyy，∴所求函数的反函数为1(10){(01)xxyxx．（3）由32331yxxx得3(1)2yx，∴312()xyyR，∴所求反函数为13()12()fxxxR．例2．函数11(,)1axyxxRaxa的图象关于yx对称，求a的值．解：由11(,)1axyxxRaxa得1(1)(1)yxyay，∴11()(1)(1)xfxxax，用心爱心专心1由题知：1()()fxfx，11(1)1xaxaxax，∴1a．例3．若(2,1)既在()fxmxn的图象上，又在它反函数图象上，求,mn的值．解：∵(2,1)既在()fxmxn的图象上，又在它反函数图象上，∴(1)2(2)1ff，∴221mnmn，∴37mn．例4．（《高考A计划》考点12“智能训练第5题”）设函数xxxf121)(，又函数)(xg与1(1)yfx的图象关于yx对称，求)2(g的值．解法一：由121xyx得12yxy，∴11()2xfxx，1(1)3xfxx，∴)(xg与3xyx互为反函数，由23xx，得(2)2g．解法二：由1(1)yfx得()1xfy，∴()()1gxfx，∴(2)(2)12gf．例5．已知函数()yfx（定义域为A、值域为B）有反函数1()yfx，则方程()0fx有解xa，且()()fxxxA的充要条件是1()yfx满足11()()(0)fxxxBfa且．例6．（《高考A计划》考点12“智能训练第15题”）已知21()()21xxafxaR，是R上的奇函数．（1）求a的值，（2）求()fx的反函数，（3）对任意的(0,)k解不等式121()logxfxk．解：（1）由题知(0)0f，得1a，此时21212112()()021212112xxxxxxxxfxfx，即()fx为奇函数．（2）∵21212121xxxy，得12(11)1xyyy，∴用心爱心专心2121()log(11)1xfxxx．（3）∵121()logxfxk，∴11111xxxkx，∴111xkx，①当02k时，原不等式的解集{|11}xkx，②当2k时，原不等式的解集{|11}xx．（四）巩固练习：1．设21(01)(){2(10)xxxfxx，则15()4f．2．设0,1aa，函数logayx的反函数和1logayx的反函数的图象关于（）()Ax轴对称()By轴对称()Cyx轴对称()D原点对称3．已知函数1()()12xfx，则1()fx的图象只可能是（）()A()B()C()D4．若6yax与13yxb的图象关于直线yx对称，且点(,)ba在指数函数()fx的图象上，则()fx．五．课后作业：《高考A计划》考点12，智能训练1，2，3，6，10，12，14．用心爱心专心31xyO2xyO1xyO11xyO2
