（通用版）高考数学一轮复习 第8章 立体几何 7 第7讲 立体几何中的向量方法教案 理-人教版高三全册数学教案VIP专享VIP免费

第7讲立体几何中的向量方法1．空间向量与空间角的关系(1)两条异面直线所成角的求法(a，b分别为l1，l2的方向向量)a与b的夹角βl1与l2所成的角θ范围(0，π)求法cosβ＝cosθ＝|cosβ|＝(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝．(3)二面角的求法a．如图①，AB，CD是二面角αlβ两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．b．如图②③，n1，n2分别是二面角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．2．点到平面的距离的求法如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．()(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(教材习题改编)已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A.B.C.D.解析：选D.因为A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，所以AB＝(－1，1，0)，AC＝(－1，0，1)．经验证，当n＝时，n·AB＝－＋0＝0，n·AC＝＋0－＝0.所以是平面ABC的一个单位法向量．正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为()A.B.C.D.解析：选A.以C为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：A(2，0，0)，C1(0，0，2)．点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2.所以AC1＝(－2，0，2)，AC2＝，设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为θ，则cosθ＝＝＝.又θ∈，所以θ＝.已知正方体ABCDA1B1C1D1如图所示，则直线B1D和CD1所成的角为________．解析：以A为原点，AB、AD、AA1分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则CD1＝(－1，0，1)，B1D＝(－1，1，－1)，cos〈CD1，B1D〉＝＝0，所以两直线所成的角为90°.答案：90°在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC，则二面角CPBD的大小为________．解析：以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设PD＝DC＝1，则D(0，0，0)，P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(1，1，0)．所以DP＝(0，0，1)，PC＝(0，1，－1)，DB＝(1，1，0)，BC＝(－1，0，0)，设平面PBD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由n1·DP＝0，n1·DB＝0得令x1＝1，得n1＝(1，－1，0)．设平面PBC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，由n2·PC＝0，n2·BC＝0得令y2＝1得n2＝(0，1，1)．设二面角CPBD的大小为θ，则cosθ＝＝，所以θ＝60°.答案：60°异面直线所成的角[典例引领](2017·高考天津卷节选)如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.(1)求证：MN∥平面BDE；(2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．【解】如图，以A为原点，分别以AB，AC，AP方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0)．(1)证明：DE＝(0，2，0)，DB＝(2，0，－2)．设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨设z＝1，可得n＝(1，0，1)．又MN＝(1，2，－1)，可得MN·n＝0.因为MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE.(2)依题意，设AH＝h(0≤h≤4)，则H(0，0，h)，进而可得NH＝(－1，－2，h)，BE＝(－2，2，2)．由已知，得|cos〈NH，BE〉|＝＝＝，整理得10h2－21h＋8＝0，解得h＝或h＝.所以，线段AH的长为或.用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．[提醒]注...