§5.4简单的三角恒等变换最新考纲考情考向分析1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式．2.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．题型选择、填空、解答均有可能出现，中低档难度.1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))tan(α－β)＝(T(α－β))tan(α＋β)＝(T(α＋β))2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝.概念方法微思考1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？提示诱导公式可以看成和差公式中β＝k·(k∈Z)时的特殊情形．2．怎样研究形如f(x)＝asinx＋bcosx函数的性质？提示先根据辅助角公式asinx＋bcosx＝·sin(x＋φ)，将f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再结合图象研究函数的性质．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)(2)对任意角α都有1＋sinα＝2.(√)(3)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.(×)(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．(×)题组二教材改编2．[P127T2]若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin等于()A．－B.C．－D.答案C解析 α是第三象限角，∴sinα＝－＝－，∴sin＝－×＋×＝－.3．[P131T5]sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝.答案解析sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝.4．[P146A组T4(2)]tan10°＋tan50°＋tan10°tan50°＝.答案解析 tan60°＝tan(10°＋50°)＝，∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°)＝－tan10°tan50°，∴原式＝－tan10°tan50°＋tan10°tan50°＝.题组三易错自纠5.＝.答案解析原式＝＝＝＝sin30°＝.6．化简：＝.答案解析原式＝＝＝＝.7．已知θ∈，且sin＝，则tan2θ＝.答案－解析方法一sin＝，得sinθ－cosθ＝，①θ∈，①平方得2sinθcosθ＝，可求得sinθ＋cosθ＝，∴sinθ＝，cosθ＝，∴tanθ＝，tan2θ＝＝－.方法二 θ∈且sin＝，∴cos＝，∴tan＝＝，∴tanθ＝.故tan2θ＝＝－.8．化简：＝.答案4sinα解析＝＝＝4sinα.第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一和差公式的直接应用1．(2018·嘉兴检测)sin215°－cos215°的值为()A.B.C．－D．－答案C解析sin215°－cos215°＝－(cos215°－sin215°)＝－cos30°＝－，故选C.2．已知tan＝，tan＝，则tan(α＋β)的值为()A.B.C.D．1答案D解析 tan＝，tan＝，∴tan(α＋β)＝tan＝＝＝1.3．已知sinα＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为()A．－B.C.D．－答案A解析 α∈，∴cosα＝－，tanα＝－，又tanβ＝－，∴tan(α－β)＝＝＝－.4．计算的值为．答案解析＝＝＝＝.思维升华(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．题型二和差公式的灵活应用命题点1角的变换例1(1)设α，β都是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝.答案解析依题意得sinα＝＝，因为sin(α＋β)＝α，所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－.于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.(2)(2018·浙江名校联盟联考)已知sin＝，则cos等于()A．－B.C．－D.答案C解析设θ＝－α，则2θ＝－2α，∴2α＋＝π－2θ，∴cos＝cos(π－...
