第三节等比数列考点串串讲1．等比数列的定义及判定方法(1)等比数列的定义一般地，一个数列{an}，若从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(用q表示)，就称这个数列为等比数列．常数q就叫做这个等比数列的公比，即＝q(n∈N＋)对等比数列定义的理解可以类比等差数列来进行．和等差数列一样，学习等比数列的定义也要强调：①“从第二项起”，这是为了保证每一项的前一项确实存在；②“同一个常数”这是等比数列的基本特征．如数列3,1，，，，…从第三项起满足＝，但＝≠.所以这个数列就不是等比数列．＝q(n∈N＋)这一条不容破坏！③同样要注意q＝(n∈N＋)④从等比数列的定义式中可知，等比数列中无零项，因此，等比数列的公比q≠0，由此可知，式子＝q与an＋1＝qan并不等价！⑤和等差数列一样确定等比数列的条件也只要两个：某一项和公比．(2)等比数列的判定方法①定义法：＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．②通项公式法：an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．③中项公式法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．④前n项和公式法：Sn＝qn－＝kqn－k，(k＝是不为零的常数，且q≠0，q≠1)⇔{an}是等比数列．2．等比数列的通项公式已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(n∈N＋)①若已知等比数列{an}的第m项为am，公比为q，则等比数列{an}的通项公式为an＝amqn－m(n，m∈N＋)②通项公式的意义不仅可以求通项，而且还可以利用通项公式①求首项和公比；利用通项公式②求指定项am和公比q.3．等比数列的前n项和公式及其推导等比数列{an}的首项为a1，公比为q，末项为an.则前n项和为Sn＝该公式的推导方法叫做“错位相减法”，它是一种很重要的求和方法．在后面的讲解中将会看到它的重要作用，要明确两点：第一，为什么要错位？即错位的目的是什么？我们说错位是为了在新的式子中产生一系列的与原式相同的项，便于两式做减法，消去一些无关项，而保留我们所需要的项；第二，怎样错位？就是根据等比数列每一项(n≥2)都比它前面一项多一个因子q的这一特点，在等式两边同时乘以这个因子，这样使得和式中所有的项都整体往后错了一位，这样，就形成了与原式有一系列相同项的新的和式．这一方法，有时称之为乘公比用心爱心专心1错位相减法．注意①在等比数列的前n项和的两个公式中共有五个量a1，n，q，Sn，an，如果已知其中的任意三个便可求出另外两个，即所谓的“知三求二”．②在使用等比数列的前n项和公式时，如果公比q不确定，切不可贸然使用，而应当分q＝1与q≠1两种情况讨论．4．用函数的观点审视等比数列等比数列的通项公式an＝a1qn－1，可以化为an＝cqn(其中c＝为常数)．当q＞0且q≠1时，图象为分布在指数曲线y＝cqx上横坐标为正整数的一些孤立点．如图1所示．当q＝1时，等比数列{an}为常数列图象．为分布在平行于x轴的直线y＝a1上横坐标为正整数的一些孤立点，如图2所示．当q＜0时，等比数列{an}为摆动数列．5．等比中项的定义和性质(1)定义：三个数a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，且b2＝ac或b＝±.(2)性质：①b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件．反之则不然，例如当a或c为0时，b＝0这个式子也成立．但等比数列中是无零项的，所以它们不能组成等比数列．②两个同号的数a与c才具有等比中项，且它们的等比中项有两个：或－.这是因为a、c同号，保证了ac＞0，若a与c异号，则ac＜0，则b2＝ac＜0，b不存在．特别地，当a＞0，b＞0时，G＝叫做a与b的几何平均数．(3)三个数成等比数列的一般设法是，a，aq.6．等比数列的性质(1)若首项a1＞0，公比q＞1，或首项a1＜0，公比0＜q＜1，则数列为递增数列；若首项a1＞0，公比0＜q＜1，或首项a1＜0，公比q＞1，则数列为递减数列；公比q＝1，数列为常数列；公比q＜0，数列为摆动数列．公比不等于零是一大特点．(2)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项积相等，并且等于首末两项之积．特别地，若项数为奇数，还等于中间项的平方，即a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝…＝a(3)若m，n，p，k∈N*，且m＋n＝p＋k，则am·an＝ap·ak...
