第2讲解三角形1.(2018·全国Ⅱ卷,理6)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB等于(A)(A)4(B)(C)(D)2解析:因为cos=,所以cosC=2cos2-1=2×2-1=-.在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC=52+12-2×5×1×-=32,所以AB==4.故选A.2.(2018·全国Ⅲ卷,理9)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c若△ABC的面积为,则C等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:因为S=absinC===abcosC,所以sinC=cosC,即tanC=1.因为C∈(0,π),所以C=.故选C.3.(2016·全国Ⅲ卷,理8)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA等于(C)(A)(B)(C)-(D)-解析:如图,设AD⊥BC交BC于D,因为B=,所以AD=BD=DC,所以cos∠BAC=cos(∠BAD+∠DAC)=coscos∠DAC-sinsin∠DAC=×-×=-,选C.4.(2016·全国Ⅱ卷,理13)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=.解析:由题sinA=,sinC=,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=×+×=.则由=得b===.答案:5.(2018·全国Ⅰ卷,理17)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2,求BC.解:(1)在△ABD中,由正弦定理得=.即=,所以sin∠ADB=.由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB==.(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2×=25.所以BC=5.6.(2017·全国Ⅱ卷,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cosB;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.解:(1)由题设及A+B+C=π得sinB=8sin2,故sinB=4(1-cosB).上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去),cosB=.(2)由cosB=得sinB=,故S△ABC=acsinB=ac.又S△ABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2××1+=4.所以b=2.7.(2017·全国Ⅲ卷,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+cosA=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.解:(1)由已知可得tanA=-,所以A=,在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去)或c=4.(2)由题设可得∠CAD=,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2,所以△ABD的面积为.1.考查角度考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用,考查利用解三角形知识解决实际问题以及某些平面图形的计算问题.2.题型及难易度选择题、填空题、解答题均有,难中易三种题型均有.(对应学生用书第23~24页)正余弦定理、三角形面积公式的应用考向1解一般三角形【例1】(1)(2018·山西一模)在△ABC中,点D为边AB上一点,若BC⊥CD,AC=3,AD=,sin∠ABC=,则△ABC的面积是()(A)(B)(C)6(D)12(2)(2018·大连模拟)如图,已知△ABC中,点D在边BC上,AD为∠BAC的角平分线,且AB=1,AD=,AC=2.①求的值(说明理由);②求△ABC的面积.(1)解析:如图所示,△ABC中,BC⊥CD,AC=3,AD=,sin∠ABC=,设CD=x,则BD=x;由勾股定理得BC=x.所以AB=+x,又sin∠ABC=,且∠CBA为锐角,所以cos∠ABC=,由余弦定理得=,解得x=3,所以BC=3,AB=4;所以△ABC的面积为S△ABC=×3×4×=6.故选C.(2)解:①在△ABD中,由正弦定理可得=,在△ACD中,由正弦定理可得=,因为sin∠BAD=sin∠CAD,sin∠ADB=sin∠ADC,所以==.②设∠BAD=α,则S△ABD=×1××sinα=,S△ACD=×2××sinα=,S△ABC=×1×2×sin2α=2sinαcosα,所以+=2sinαcosα,解得cosα=,故α=.所以S△ABC=sin2α=1.(1)正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程,据此解三角形的基本思路是根据公式和已知条件得出方程或者方程组,通过解方程或者方程组得出未知元素.(2)已知两个内角和一条边的三角形只能使用正弦定理、已知三边的三角形只能使用余弦定理(其中已知两边及其夹角的也可使用余弦定理),已知两边及一边的对角的既能使用正弦定理也能使用余弦定理.考向2解实际应用问题【例2】(1)(2018·江西南昌一模)已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)的150千米B处,以v千米/小时沿正西方向快速移动,2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)的200千米C处,若cosα=cosβ,则v等于()(A)60(B)80(C)100(D)125(2)(2018·吉林大学附中四模)为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B(如...
