（江苏专版）高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第七节 正弦定理和余弦定理教案 理（含解析）苏教版-苏教版高三全册数学教案VIP专享VIP免费

第七节正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形形式(边角转化)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝，sinB＝，sinC＝；a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_CcosA＝；cosB＝；cosC＝2．三角形中常用的面积公式(1)S＝ah(h表示边a上的高)；(2)S＝bcsinA＝acsinB＝absinC；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．[小题体验]1．(2019·启东中学检测)在△ABC中，A＝30°，AC＝2，BC＝2，则AB＝________.答案：2或42．在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则a＝________.答案：63．(2019·淮安调研)在△ABC中，若A＝60°，AC＝2，BC＝2，则△ABC的面积为________．解析：在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝2，由余弦定理，得cosA＝＝，代入数据化简得AB2－2AB－4＝0，解得AB＝＋(负值舍去)．故△ABC的面积S＝AB·AC·sinA＝3＋.答案：3＋1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．[小题纠偏]1．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形解的情况为________．解析：因为＝，所以sinB＝sinA＝sin45°＝.又因为a＜b，所以B有两个解，即此三角形有两解．答案：两解2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.解析：在△ABC中，因为sinB＝，0＜B＜π，所以B＝或B＝.又因为B＋C＜π，C＝，所以B＝，所以A＝.因为＝，所以b＝＝1.答案：1[典例引领](2018·南京高三年级学情调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝.(1)若c＝2a，求的值；(2)若C－B＝，求sinA的值．解：(1)法一：在△ABC中，由余弦定理得cosB＝＝.因为c＝2a，所以＝，即＝，所以＝.又由正弦定理得＝，所以＝.法二：因为cosB＝，B∈(0，π)，所以sinB＝＝.因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA，所以sinC＝2sin(B＋C)＝cosC＋sinC，即－sinC＝2cosC.又因为sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝，所以＝.(2)因为cosB＝，所以cos2B＝2cos2B－1＝.又0＜B＜π，所以sinB＝＝，所以sin2B＝2sinBcosB＝2××＝.因为C－B＝，即C＝B＋，所以A＝π－(B＋C)＝－2B，所以sinA＝sin＝sincos2B－cossin2B＝×－×＝.[由题悟法]1．正、余弦定理适用类型解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．2．判断三角形解的个数的注意点已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．[即时应用]1．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝，a＝3，S△ABC＝2，则b的值为________．解析：因为S△ABC＝bcsinA＝2，所以bc＝6，又因为sinA＝，所以cosA＝，又a＝3，由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.答案：2或32．(2018·苏州高三期中调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sinB＋sinC＝msinA(m∈R)，且a2－4bc＝0.(1)当a＝2，m＝时，求b，c的值；(2)若角A为锐角，求m的取值范围．解：由题意得b＋c＝ma，a2－4bc＝0.(1)当a＝2，m＝时，b＋c＝，bc＝1，解得或(2)cosA＝＝＝＝2m2－3，因为A为锐角，所以cosA＝2m2－3∈(0,1)，所以＜m2＜2，又由b＋c＝ma，可得m＞0，所以＜m＜，即m的取值范围为.[典例引领]在△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin2＝，则△ABC的形状一定是________．解析：由题意，得＝，即cosB＝，又由余弦定理，得＝，整理得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．答案：直角三角形[类题通法]判定三角形形状的2种常用途径[提醒]在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角...