高考数学二轮复习 第2部分 专题6 函数、导数、不等式 第3讲 导数的综合应用教案 文-人教版高三全册数学教案VIP免费

第3讲导数的综合应用利用导数证明不等式(5年3考)[高考解读]利用导数证明不等式是每年高考的热点，主要考查“辅助函数法”证明不等式，难度较大.(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程；(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0.切入点：求函数f(x)的导数．关键点：正确构造函数，转化为函数的最值问题解决．[解](1)f′(x)＝，f′(0)＝2.因此曲线y＝f(x)在(0，－1)处的切线方程是2x－y－1＝0.(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x.令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则g′(x)＝2x＋1＋ex＋1.当x<－1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增．所以g(x)≥g(－1)＝0.因此f(x)＋e≥0.[教师备选题]1．(2016·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1＜＜x；(3)设c>1，证明当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.[解](1)由题设知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．(2)由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0.所以当x≠1时，lnx＜x－1.故当x∈(1，＋∞)时，lnx＜x－1，ln＜－1，即1＜＜x.(3)证明：由题设c＞1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，则g′(x)＝c－1－cxlnc.令g′(x)＝0，解得x0＝.当x＜x0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x＞x0时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．由(2)知1＜＜c，故0＜x0＜1.又g(0)＝g(1)＝0，故当0＜x＜1时，g(x)＞0.所以当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞cx.2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明f(x)≤－－2.[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a<0，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在上单调递增，在单调递减．(2)证明：由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f＝ln－1－.所以f(x)≤－－2等价于ln－1－≤－－2，即ln＋＋1≤0.设g(x)＝lnx－x＋1，则g′(x)＝－1.当x∈(0,1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x>0时，g(x)≤0.从而当a<0时，ln＋＋1≤0，即f(x)≤－－2.利用导数证明不等式成立问题的常用方法1直接将不等式转化成某个函数最值问题：若证明fx＜gx，x∈a，b，可以构造函数Fx＝fx－gx，如果F′x＜0，则Fx在a，b上是减函数，同时若Fa≤0，由减函数的定义可知，x∈a，b时，有Fx＜0，即证明了fx＜gx.2将待证不等式转化为两个函数的最值进行比较证明：在证明不等式中，若待证不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题，可借助两个函数的最值证明，如证fx≥gx在D上成立，只需证明fxmin≥gxmax即可.3若所证函数不等式通过移项后构成新函数的最值易求，可直接通过移项构造函数证明.1．(求切线方程、不等式证明)已知函数f(x)＝mex－lnx－1.(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若m∈(1，＋∞)，求证：f(x)>1.[解](1)当m＝1时，f(x)＝ex－lnx－1，所以f′(x)＝ex－，所以f′(1)＝e－1，又因为f(1)＝e－1，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e－1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x.(2)当m>1时，f(x)＝mex－lnx－1>ex－lnx－1，要证明f(x)>1，只需证明ex－lnx－2>0，设g(x)＝ex－lnx－2，则g′(x)＝ex－(x>0)，设h(x)＝ex－(x>0)，则h′(x)＝ex＋>0，所以函数h(x)＝g′(x)＝ex－在(0，＋∞)上单调递增，因为g′＝e－2<0，g′(1)＝e－1>0，所以函数g′(x)＝ex－在(0，＋∞)上有唯一零点x0，且x0∈，因为g′(x0)＝0，所以ex0＝，即lnx0＝－x0，当x∈(0，x0)时，g′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0，所以当x＝x0时，g(x)取得最小值g(x0)，故g(x)≥g(x0)＝ex0－lnx0－2＝＋x0－2>0，综上可知，若m∈(1，＋∞)，则f(x)>1.2．(求单调区间和极值...