第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式一、知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2x＋cos2x＝1．(2)商数关系：tanx＝.2．三角函数的诱导公式组数一二三四五六角α＋2kπ(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα常用结论1．同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．二、习题改编1．(必修4P19例6改编)已知sinα＝，≤α≤π，则tanα＝()A．－2B．2C.D．－解析：选D.因为cosα＝－＝－＝－，所以tanα＝＝－.2．(必修4P20练习T4改编)化简＝．解析：＝＝sin2θ.答案：sin2θ一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1.()(2)若α∈R，则tanα＝恒成立．()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()(4)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cosθ＝.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×二、易错纠偏(1)不注意角的范围出错；(2)诱导公式记忆不熟出错．1．已知cos(π＋α)＝，则tanα＝()A.B.C．±D．±解析：选C.因为cos(π＋α)＝，所以cosα＝－，则α为第二或第三象限角，所以sinα＝±＝±.所以tanα＝＝＝±.2．若sin(π＋α)＝－，则sin(7π－α)＝，cos＝．解析：由sin(π＋α)＝－sinα＝－，得sinα＝，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sinα＝，cos＝cos＝cos＝cos＝sinα＝.答案：同角三角函数的基本关系式(多维探究)角度一公式的直接应用(1)(2020·北京西城区模拟)已知α∈(0，π)，cosα＝－，则tanα＝()A.B．－C.D．－(2)已知α是三角形的内角，且tanα＝－，则sinα＋cosα的值为．【解析】(1)因为cosα＝－且α∈(0，π)，所以sinα＝＝，所以tanα＝＝－.故选D.(2)由tanα＝－，得sinα＝－cosα，且sinα>0，cosα<0，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，所以cosα＝－，sinα＝，故sinα＋cosα＝－.【答案】(1)D(2)－利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．角度二sinα，cosα的齐次式问题已知＝－1，求下列各式的值：(1)；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.【解】由已知得tanα＝.(1)＝＝－.(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.关于sinα与cosα的齐n次分式或齐二次整式的化简求值的解题策略已知tanα，求关于sinα与cosα的齐n次分式或齐二次整式的值．角度三sinα±cosα，sinαcosα之间的关系已知α∈(－π，0)，sinα＋cosα＝.(1)求sinα－cosα的值；(2)求的值．【解】(1)由sinα＋cosα＝，平方得sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝，整理得2sinαcosα＝－.所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝.由α∈(－π，0)，知sinα<0，又sinα＋cosα>0，所以cosα>0，则sinα－cosα<0，故sinα－cosα＝－.(2)＝＝＝＝－.sinα±cosα与sinαcosα关系的应用技巧(1)通过平方，sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα之间可建立联系，若令sinα＋cosα＝t，则sinαcosα＝，sinα－cosα＝±(注意根据α的范围选取正、负号)．(2)对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，可以知一求二．1．(2020·长春模拟)已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为()A．－B.C．－D．解析：选B.因为<α<，所以cosα<0，sinα<0且|cosα|<|sinα|，所以cosα－sinα>0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，所以cosα－sinα＝.故选B.2．若3sinα＋cosα＝0，则的值为．解析：3sinα＋cosα＝0⇒cosα≠0⇒tanα＝－，＝＝＝＝.答案：3．已知θ为第四象限角，sinθ＋3cosθ＝1，则tanθ＝．解析：由(sinθ＋3cosθ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sinθcosθ＝－8cos2θ，又因为θ为第四象限角，所...
