第一节直线与方程突破点一直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)．2．直线的斜率公式(1)定义式：若直线l的倾斜角α≠，则斜率k＝tan_α.(2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.3．两条直线平行与垂直的判定两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．()(4)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(5)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×二、填空题1．过点M(－1，m)，N(m＋1,4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．答案：12．若直线l1：(a－1)x＋y－1＝0和直线l2：3x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为________．答案：3．(2019·湖南百所中学检测)若直线l1：ax＋y－1＝0与l2：3x＋(a＋2)y＋1＝0平行，则a的值为________．答案：14．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．答案：考法一直线的倾斜角与斜率1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：1斜率kk＝tanα＞0k＝0k＝tanα＜0不存在倾斜角α锐角0°钝角90°2．在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tanα的单调性，如图所示：(1)当α取值在内，由0增大到时，k由0增大并趋向于正无穷大；(2)当α取值在内，由增大到π(α≠π)时，k由负无穷大增大并趋近于0.解决此类问题，常采用数形结合思想．[例1](1)(2019·江西五校联考)已知直线l与两条直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率是()A.B.C．－D．－(2)(2019·张家口模拟)直线l经过A(2,1)，B(1，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是()A.B.C.D.[解析](1)设P(a,1)，Q(b，b－7)，则解得所以P(－2,1)，Q(4，－3)，所以直线l的斜率k＝＝－，故选C.(2)直线l的斜率k＝tanα＝＝m2＋1≥1，所以≤α＜.[答案](1)C(2)C[方法技巧]求直线倾斜角范围的注意事项直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．考法二两直线的位置关系两直线位置关系的判断方法(1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等；②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1.(2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．[例2](1)(2019·武邑中学月考)已知过两点A(－3，m)，B(m,5)的直线与直线3x＋y－1＝0平行，则m的值为()A．3B．7C．－7D．－9(2)(2019·安徽六安四校联考)设m∈R，则“m＝0”是“直线l1：(m＋1)x＋(1－m)y－12＝0与直线l2：(m－1)x＋(2m＋1)y＋4＝0垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析](1)由题可知，＝－3，解得m＝－7，故选C.(2)由直线l1与l2垂直可得(m＋1)(m－1)＋(1－m)·(2m＋1)＝0，解得m＝0或m＝1.所以“m＝0”是“直线l1：(m＋1)x＋(1－m)y－1＝0与直线l2：(m－1)x＋(2m＋1)y＋4＝0垂直”的充分不必要条件．故选A.[答案](1)C(2)A[方法技巧]由一般式方程确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件＝≠(A2B2C2≠0)l1与l2相交的...
